Системы счисления

Основание	Система счисления	Алфавит системы счисления
2	Двоичная	0, 1
3	Троичная	0, 1, 2
4	Четвертичная	0, 1, 2, 3
5	Пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
8	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
12	Двенадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Таким образом, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Запись чисел в одной из систем счисления с основанием р означает сокращенную запись выражения:

A_р= a_nx рⁿ + a_n-1 x р^n-1 + … + a₁ x р¹ + a₀ x р⁰ + a_-1 x р^-1 + … + a_-m x р^-m ,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно, A_р – запись числа A в р-ичной системе счисления.

Изображением числа A в р-ичной системе счисления является последовательность цифр a_k.

4.1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим задачу перевода чисел из одной системы счисления в другую. Пусть известна запись числа А в системе счисления с основанием р:

A_р= a_зx рⁿ + a_n-1 x р^n-1 + … + a₁ x р¹ + a₀ x р⁰ + a_-1 x р^-1 + … + a_-m x р^-m ,

где а_i – цифры р-ичной системы счисления.

Требуется найти запись этого числа А в системе счисления с основанием d:

A_d= b_n x dⁿ + b_n-1 x d^n-1 + … + b₁ x d¹ + b₀ x d⁰ + b_-1 x d^-1 + … + b_-m x d^-m ,

где b_i – цифры d-ичной системы счисления.

При переводе чисел из р-ичной системы счисления в d-ичную (А_р → А_d) нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, то есть в какой системе счисления (р-ичной или d-ичной) должны быть выполнены все действия.

Пусть перевод А_р → А_d должен осуществляться средствами d-ичной арифметики. В этом случае перевод произвольного числа А, заданного в системе счисления с основанием р, в систему счисления с основанием d выполняется по правилу замещения.

Правило замещения чаще всего используется для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную.

Перевод в десятичную систему числа А, записанного в р-ичной системе счисления в виде A_р = (a_n a_n-1… a₁ a₀ . a_-1 … a_-m)_р сводится к вычислению многочлена A₁₀= a_nx рⁿ + a_n-1 x р^n-1 + … + a₁ x р¹ + a₀ x р⁰ + a_-1 x р^-1 + … + a_-m x р^-m средствами десятичной арифметики.

Пример 1. Переведем число А₂ = 1011,1 в десятичную систему счисления.

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 1₂ = 1 x 2³ + 1 x 2²+1 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 1 x 2^-1 = 11,5₁₀

2 7 6, 5₈ = 2 x 8² + 7 x 8¹ + 6 x 8⁰ + 5 x 8^-1 = 190,625₁₀

1 F 3₁₆ = 1 x 16² + F x 16¹ + 3 x 16⁰ = 499₁₀

Пусть теперь перевод А_р → А_d должен осуществляться средствами р-ичной арифметики. В этом случае для перевода любого числа используется правило деления – для перевода целой части числа и правило умножения – для перевода дробной части.

Для перевода целого числа А_р из р-ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо А_р разделить с остатком “нацело” на число d, записанное в той же р-ичной системе счисления. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на d и т.д., пока последнее полученное частное не станет равным нолю.

Представлением числа А_р в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных d-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном их получения.

Пример 2. Переведем число А₁₀ = 47 в двоичную систему счисления с использованием десятичной арифметики, при d=2, имеем:

47 : 2 = 23 (1)

23 : 2 = 11 (1)

11 : 2 = 5 (1)

5 : 2 = 2 (1)

2 : 2 = 1 (0)

1 : 2 = 0 (1)

В процессе деления получим двоичное изображения искомых цифр А₂ = 101111.

Пример 3. Переведем число А₁₀ = 75 в шестнадцатеричную систему счисления с использованием десятичной арифметики, при d=16, имеем:

75 : 16 = 4 (11)

4 : 16 = 0 (4)

Первый остаток 11₁₀ в 16-ричной системе счисления обозначается шестнадцатиричной цифрой В_{16 ,} поэтому окончательно получим: А₁₆ = 4В.