2.2 Тришарнірні рами

Для тришарнірної рами, яка обрана відповідно варіанта (рис. 2.3) необхідно:

а) визначити реакції опорних зв’язків;

б) побудувати епюри зусиль М – згинальних моментів,

Q – поперечних сил, N – поздовжніх сил;

в) виконати перевірку розв’язку задачі.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 4.

Таблиця 4

Перша цифра шифру	l, м	h, м	Друга цифра шифру	F, кН	q, кН/м	Остання цифра шифру (номер схеми
1	2	3	5	6	7	10
1	8	4	1	20	10	1
2	6	5	2	30	12	2
3	10	6	3	40	14	3
4	7	4	4	25	16	4
5	9	6	5	35	18	5
6	12	6	6	45	10	6
7	6	4	7	20	12	7
8	8	6	8	32	14	8
9	6	5	9	50	18	9
0	6	6	0	40	18	0

Внутрішні силові фактори в тришарнірних рамах визначаються за допомогою методів побудови епюр зусиль, які розглянуто в курсі "Опір матеріалів". Різниця лише у необхідності визначення розпору за допомогою додаткового рівняння рівноваги – сума моментів відносно ключового шарніру дорівнює нулю.

1. h/2 F q h/2 0,5l 0,2l5 0,3l5 l	2 F . q 0,5l h l 0,4l
3 q F . 0,4l h l 0,3l	4 F . h/2 q h/2 0,2l 0,7l 0,3l
h 5 . h/2 q l /2 l	6 q F . h 0,5l 0,5l 0,4l

Рисунок 2.3

7 q . F h 0,5l 0,4l l	8 F . 0,4l q h l
9 F q . 0,3h 0,5l 0,5h 0,5h l 0,3l	0 F . q h 0,3l l

Продовження рисунка 2.3

Приклад розв’язання.

Для заданої схеми тришарнірної рами (рис. 2.4) необхідно визначити опорні реакції та побудувати епюри внутрішніх зусиль.

4 м

6 м

F = 40 кН

6 м

q = 14 кН/м

х

х

х

х

1

2

3

4

5

R₁

R₅

H₁

H₅

Рисунок 2.4

Вертикальні опорні реакції визначаємо із умов статичної рівноваги тришарнірної рами вцілому.

Для визначення розпорів H₁ та H­₅ необхідно застосувати умови рівності нулю моменту відносно ключового шарніру 3. Розглядається спочатку рівновага лівої частини рами, а потім правої.

Визначаємо зусилля для кожної ділянки рами.

Ділянка 1-2

Ділянка 2-3

Ділянка 3-4

Ділянка 4-5

Епюри моментів будуються відповідно до отриманих рівнянь, перевірка розрахунку полягає в перевірці виконання умов рівноваги суми моментів, поперечних та поздовжніх сил у жорстких вузлах.

Епюри зусиль та перевірки наведені на рисунках 2.5 та 2.6

Рисунок 2.5

Рисунок 2.6

Задача № 3 Розрахунок статично

визначуваних плоских ферм

Для ферми, яка обрана відповідно до варіанта (рис. 3.1), необхідно:

а) визначити (аналітично) зусилля в усіх стержнях заданої панелі від дії постійного навантаження;

б) побудувати л. вп. зусиль у тих самих стержнях та порівняти отриманий результат з аналітичним розв’язком.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 5.

Таблиця 5

Перша цифра шифру	d, м	Навантаження F, кН	Друга цифра шифру	Номер панелі (рахуючи зліва)	h, м	Остання цифра шифру (номер схеми	h, м
1	2	3	4	5	6	7	6
1	3,0	14,0	1	2	2,5	1	2,5
2	3,2	14,5	2	3	2,6	2	2,6
3	3,4	15,0	3	4	2,7	3	2,7
4	3,6	15,5	4	5	2,8	4	2,8
5	3,8	16,0	5	4	2,9	5	2,9
6	4,0	16,5	6	3	3,0	6	3,0
7	4,2	17,0	7	2	3,1	7	3,1
8	4,4	17,5	8	5	3,2	8	3,2
9	4,6	18,0	9	3	3,3	9	3,3
0	4,8	18,5	0	4	3,4	0	3,4

d h F 1.

d h F 2.

h /2 d h F d 3.

h /2 h F d 4.

h F

Рисунок 3.1

h d 6 F .

h d F 7.

h d F d 8.

h F 9.

h d F 0.

Продовження рисунка 3.1

Приклад розв’язання.

Зусилля в кожному заданному стержні необхідно за можливістю знаходити через зовнішнє навантаження та реакції опор, а не через будь-які інші вже знайдені зусилля.

Розрахункова схема ферми наведена на рис. 3.2. Постійне навантаження F = 36,3 кН.

Необхідно знайти зусилля у четвертій панелі, рахуючи зліва.

Опорні реакції визначаємо, виходячи з рівноваги ферми вцілому. При симетричному навантажені .

Для визначення заданих зусиль застосовуємо спосіб наскрізних перерізів. В даному випадку проводимо перерізи І-І та ІІ-ІІ.

Для знаходження зусиль N₂₁, N₃₁, N₃₅ розглядаємо рівновагу правої частини ферми (рис. 3.3, а).

d=3 м

1

2

I

II

а)

h/2

6

h=5 м

3

F

F

F

F

F

A

B

4

I

II

Р

6d

d

исунок 3.2

а)

1

N₂₁

d₂₁

N₃₁

1,5h



3





7



N₃₅

F

R_B

F

d₃₁

6d

d

N₂₁

б)

2

N₂₃

N₃₅

7

F

R_B

8d

N₅₁

2F

5

в)

Рисунок 3.3

Для визначення зусилля N₂₃ проводимо переріз ІІ-ІІ та розглядаємо рівновагу правої частини ферми (рис. 3.3, б).

Для визначення зусилля N₅₁ необхідно вирізати вузол 5 в основній схемі (рис. 3.3, в).

Лінії впливу будуємо від рухомого навантаження, яке передається тільки в вузли ферми. Одиничний вантаж переміщується по поясу, де розташоване постійне навантаження.

Лінії впливу стержнів заданої панелі зображені на рисунку 3.4.

Під час побудови л. вп. використовуються такі самі методи, що й під час аналітичному розрахунку від нерухомого навантаження.

Лінія впливу зусилля N₁₂:

Таким чином, лінія впливу зусилля є лінією впливу опорної реакції (дивися побудову л. вп. для балок), помножена на відповідний коефіцієнт.

Лінія впливу зусилля N₃₅:

N₁₂

N₁₃

N₂₃

N₅₁

1

N₃₅

R_A

x

R_B

0,117

0,351

(-)

л. вп. N₁₂

(+)

0,117 0,234 0,351

0,2

0,2

0,2 0,4 0,2

л. вп. N₃₅

(+)

(-)

(-)

0,37

0,37

0,235

0,235 0,47

л. вп. N₁₃

(+)

(+)

(-)

(-)

0,344

0,219

0,219 0,438 0,656

л. вп. N₂₃

(+)

(+)

(-)

1

(+)

л. вп. N₁₅

Рисунок 3.4

Лінія впливу зусилля N₁₃:

Лінія впливу зусилля N₂₃:

Лінія впливу зусилля N₁₅. Якщо одинична рухома сила знаходиться за межами точки 5, то л. вп. зусилля N₁₅ буде нульовою. Коли сила знаходиться в точці 5, то з розгляду рівноваги вузла 5 (рис. 3.3, в) маємо N₁₅=1.

Для визначення зусиль за лініями впливу застосовуємо формулу

де - сума всіх ординат л. вп. зусилля N_ik.

Розрахунки, отримані за лініями впливу, збігаються з аналітичним розв’язком задачі.

Задача № 4 Розрахунок плоскої статично

невизначуванОЇ рами методом сил

Для рами, яка обрана відповідно до варіанта (рис. 4.1 або рис. 4.2 – за рішенням викладача) необхідно:

а) побудувати епюри згинальних моментів, поперечних та поздовжніх сил;

б) перевірити правильність побудови епюр.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 5 для рис. 4.1 або таблиці 6 для рис. 4.2.

Таблиця 6

Перша цифра шифру	F1, кН	F2, кН	F3, кН	l, м	Друга цифра шифру	q1 , кН/м	q2 , кН/м	q3, кН/м	h, м	Остання цифра шифру (номер схеми)	I1/I2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	50	--	--	12	1	--	10	--	4	1	2:1
2	--	55	--	14	2	12	--	--	4,2	2	3:1
3	--	--	60	15	3	--	--	14	4,4	3	3:2
4	65	--	--	16	4	--	15	--	4,5	4	4:2
5	--	70	--	17	5	--	--	16	4,6	5	4:3
6	--	--	75	18	6	17	--	--	4,7	6	5:2
7	80	--	--	19	7	--	18	--	4,8	7	5:3
8	--	85	--	20	8	--	--	19	4,9	8	5:4
9	--	--	90	22	9	20	--	--	5,0	9	2:1
0	95	--	--	24	0	--	22	--	5,2	0	3:2

I₁ – момент інерції перерізу горизонтальних стержнів; I₂ – момент інерції перерізу вертикальних стержнів.

h h l/4 h h/2 F3 F1 F2 q3 q1 q2 l/2 l h/2 h/2 F1 F2 q3 q1 q2 h/2 h l/4 l/2 l l/2 l/2 F3 1.	2 F3 .
h h l/2 h h/2 F1 F2 q3 q1 q2 h/2 h/2 l F3 F1 F2 q3 q1 q2 h/2 l/2 h l/2 l/2 l l/4 F2 3.	4.
h h h h/2 F3 F1 q3 q1 q2 l/2 l F3 F1 F2 q3 q1 q2 h l/2 l l 5.	6.

Рисунок 4.1

h h h l/4 q1 F3 F1 F2 q3 q1 q2 l/2 l l/2 l/2 F1 F2 q3 q2 h l/2 l l q2 7 F1 .	8 F3 .
h h h l/4 F3 F1 F2 q3 q1 l/2 l l/2 l/2 F3 F1 F2 q1 q3 q2 h l l 2l/3 9.	0.

Продовження рисунка 4.1

Таблиця 7

Перша цифра шифру	l, м	h, м	а, м	Друга цифра шифру	F, кН	q, кН/м	Остання цифра шифру (номер схеми)	I1/I2
1	2	3	4	6	7	8	11	12
1	4	5	1,5	1	18	20	1	2:1
2	6	4	2	2	20	12	2	3:1
3	5	5	1,2	3	22	14	3	3:2
4	7	6	1,4	4	24	16	4	4:2
5	8	5	2,5	5	16	12	5	4:3
6	4	6	1,4	6	14	10	6	5:2
7	4	7	2	7	12	14	7	5:3
8	5	8	1,8	8	20	14	8	5:4
9	5	6	1,6	9	14	20	9	2:1
0	6	8	1,3	0	12	18	0	3:2

I₁ – момент інерції перерізу горизонтальних стержнів; I₂ – момент інерції перерізу вертикальних стержнів.

1 F . h q а l	2 F . q h а l
3 q F . l а h	4 h а l . F q
5 q F . l h а	6 q . F h l l

Рисунок 4.2

7 F . q а l h	8 F . q l а h h/2
9 q . F h l l h/2	0 q . F h l l h/2

Продовження рисунка 4.2

Приклад розв’язання.

Степінь статичної невизначуваності заданої рами (рис. 4.3, а) визначається за формулою:

Рама двічі статично невизначувана.

Обираючи основну систему, необхідно відкинути два зайві зв’язки, щоб отримати статично визначувану та геометрично незмінну систему. Для симетричних рам найбільш доцільним під час вибору основної системи є врахування симетрії, коли одне невідоме Х₁ є оберненосиметричним, а друге Х₂ прямосимет-

ричним (рис. 6.2, б). При цьому коефіцієнти ₁₂ та ₂₁ в канонічних рівняннях методу сил дорівнюють нулю.

q=20 кН/м

Х₁

Х₂

Х₂

а) б)

F=90 кН

1,5I

6

Х₁

I

I

1,5I

1,5I

6

4

4

4

2

2

Рисунок 4.3

Записуємо систему канонічних рівнянь методу сил, які виражають умови рівняння нулю переміщень за напрямком дії невідомих Х₁, Х₂:

Коефіцієнти при невідомих та вільні члени системи канонічних рівнянь являють собою переміщення в основній системі по напрямку відкинутих зв’язків від дії Х₁ та Х₂ , які дорівнюють одиниці та від зовнішнього навантаження. Для визначення цих переміщень необхідно побудувати одиничні та вантажну епюри в основній системі (рис. 4.4).

Коефіцієнти канонічних рівнянь обчислюємо за інтегралом Мора графічно за правилом Верещагіна або формулою Сімпсона.

Х₂=1

4

4

4

а) б)

Х₁=1

12

12

4

6

6

4

4

М₁

6

6

М₂

в) г)

q=20 кН/м

F=90 кН

1080

720

360

90

M_F

Рисунок 4.4

З розв’язку системи канонічних рівнянь знаходимо невідомі Х₁ та Х₂:

Епюра згинальних моментів будується за формулою

графічно.

Для зручності будування епюри М необхідно побудувати дві допоміжні епюри М₁Х₁ та М₂Х₂ (рис. 4.5, а, б)

111,84

111,84

а) б)

111,84

250,1

250,1

111,84

111,84

111,84

250,1

М₁Х₁

500,2

500,2

М₂Х₂

111,84

111,84

в)

М

111,84

467,96

469,9

1,94

138,26

388,36

284,18

250,1

Рисунок 4.5

Статична перевірка: в жорстких вузлах рами сума моментів повинна дорівнювати нулю (рис. 4.6):

111,84

111,84

111,84 – 111,84 = 0

111,84

111,84

1,94

138,26

467,96

388,36

469,9 – 1,94 – 467,96 = 0

469,9

250,1

388,36 – 138,26 – 250,1 = 0

Рисунок 4.6

Кінематична перевірка полягає у визначенні переміщення в напрямку одного з невідомих (в заданій системі переміщення в напрямку "зайвих" зв’язків дорівнюють нулю).

Відносна похибка складає що значно менше за допустиму похибку 3%.

Епюру поперечних сил (рис. 4.7, б) можна побудувати за формулою

При цьому розглядається кожний стержень рами як шарнірно-оперта балка. Q₀ – поперечна сила від зовнішнього навантаження, М_пр та М_лів – опорні згинальні моменти. На рис. 4.7, а показано приклад визначення поперечної сили для вертикального стержня завантаженого рівномірно розподіленим навантаженням.

q=20 кН/м

111,84

1,94

41,7

а) б)

28

-

+

6

117

41,7

78,3

52,1

-

78,3

-

+

Q

+

78,3

142,1

41,7

-

Рисунок 4.7

Епюру поздовжніх зусиль (рис. 4.9а) можна побудувати, розглядаючи умови рівноваги вузлів рами (рис. 4.8). Визначення поздовжніх сил слід починати з вузлів, що мають не більше двох невідомих.

28

28

41,7

41,7

а)

41,7

41,7

28

28

78,3

41,7

117

78,3

52,1

41,7

89

24,1

Рисунок 4.8

q=20 кН/м

-

а) б)

41,7

28

28

-

F=90 кН

N

+

+

89

24,1

-

78,3 кН

142,1 кН

117 кН

41,7 кН

89 кН

24,1 кН

Рисунок 4.9

Із епюр Q та N визначаються опорні реакції та перевіряється рівновага всієї рами взагалі (рис. 4.9б).

Задача № 5 Розрахунок статично

невизначуваної рами методом

переміщень

Для заданої статично невизначуваної рами, яка обрана відповідно до варіанта (рис. 5.1) необхідно визначити зусилля та побудувати епюри.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 8.

Додатково викладачем можуть бути застосовані для самостійної роботи варіанти схем, наведені на рисунку 5.6.

Таблиця 8

Перша цифра шифру	F1, кН	F2, кН	q , кН/м	Друга цифра шифру	l1, м	l2, м	h, м	Остання цифра шифру (номер схеми)	I1/I2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	50	120	16	1	14,0	4,0	4,0	1	2:1
2	55	115	17	2	12,0	4,5	4,2	2	3:1
3	60	110	18	3	11,0	5,0	4,4	3	3:2
4	65	105	19	4	10,0	5,5	4,6	4	4:1
5	70	100	20	5	9,0	6,0	4,8	5	4:2
6	75	95	21	6	8,0	6,5	5,0	6	4:3
7	80	90	22	7	10,0	6,0	5,2	7	5:2
8	85	70	24	8	11,0	5,0	4,6	8	5:3
9	90	65	26	9	12,0	4,5	4,8	9	5:4
0	80	100	18	0	14,0	4,8	4,4	0	2:1

I₁ – момент інерції перерізу горизонтальних стержнів; I₂ – момент інерції перерізу вертикальних стержнів.

Приклад розв’язання.

Приймаємо I₁/I₂ = 5:4.

Степінь кінематичної невизначуваності для заданої рами (рис. 5.2а) розраховується за формулою:

,

де К₁ – кількість кутів повороту жорстких внутрішніх вузлів рами, в даному випадку таких вузлів два (1, 2); К₂ – кількість незалежних лінійних переміщень, для їх визначення необхідно вставити шарніри в усі жорсткі вузли, включаючи опорні, (рис. 5.2, б) та визначити К₂ за формулою

l2 /2 h/2 l2 h l1 q F2 F1 l2 /2 l2 h l1 q F2 F1 l1 /2 l2 F1 1.	2.
l2 /2 h h h h/2 l2 h l1 q F2 F1 l1 /2 l1 q F2 F1 3.	4.
h h/2 l2 h l2 /2 l2 l1 q F2 h l2 l2 q F2 F1 5.	6.

Рисунок 5.1

h /2 h l2 /2 h l1/2 l2 2h l1 q F2 F1 l2 /2 l1/2 l2 l1 q F2 F1 F1 7.	8.
h /2 h /2 h l2 l2 q F2 F1 h l2 l1 q F2 l1/2 9.	0.

Продовження рисунок 5.1

Під час вибору основної системи методу переміщень на раму накладаються зв’язки, які перешкоджають можливим переміщенням рами як кутовим, так і лінійним (рис. 5.2, в). При цьому кількість невідомих, якими є реакції в ведених зв’язках, дорівнює степеню кінематичної невизначуваності. В нашому випадку це реактивні моменти в жорстких вузлах (Z₁, Z₂) та горизонтальна реакція Z₃.

Записуємо систему канонічних рівнянь методу переміщень, які виражають умови рівності нулю зусиль в накладених зв’язках:

а)

F₁=60 кН

4 м

q=20 кН/м

1

2

F₂=50 кН

4 м

6 м

2 м

4 м

12 м

12 м

б)

в)

F₁

q

Z₁

Z₂

Z₃

F₂

Рисунок 5.2

Для знаходження коефіцієнтів канонічних рівнянь необхідно побудувати епюри одиничних моментів від невідомих та епюру від зовнішнього навантаження. Епюри моментів наведені на рис. 5.3. Під час побудови епюр необхідно скористатися таблицею 9.

Таблиця 9

=1 №з/н	Схема	Епюра моментів	RA	RB
1 l RA RB 4EI/l 2EI/l
1 6EI/l2 6EI/l2 2
=1 3EI/l 3
1 3EI/l2 Fl/8 Fl/8 F 4
l/2 l/2 Fl/8 q 5
ql2/12 ql2/12 ql2/24 F 6
l/2 l/2 3Fl/16 5Fl/32 q ql2/ 8 7
ql2/16 8

Z₁=1

а)

0,9375EI₂

0,2084EI₂

EI₂

0,4167EI₂

0,5EI₂

М₁

Z₂=1

б)

0,4167EI₂

0,75EI₂

EI

0,2084EI₂

0,3125EI₂

0,5EI₂

М₂

в)

Z₃=1

0,375EI₂

0,1875EI₂

0,375EI₂

0,375EI₂

0,375EI₂

М₃

г)

90

90

360

25

90

25

180

25

M_F

Рисунок 5.3

Для знаходження коефіцієнтів канонічних рівнянь методу переміщень, які пов’язані з реактивними моментами, необхідно розглянути рівновагу жорстких вузлів у побудованих епюрах. Для знаходження коефіцієнтів, пов’язаних з горизонтальною реакцією (невідоме Z₃), необхідно розглянути рівновагу тієї частини рами, яка зміщується. Розрахунок коефіцієнтів наведено у вигляді таблиці 10.

Таблиця 10

r11 Епюра	Схема	Рівняння рівноваги	Коефіцієнт
1 0,9375EI2 0,4167EI2 EI2 2 0,2084EI2 r21 0,375EI2 r31 1 2 М1			r11=2,3542EI2
			r21=0,2084EI2
			r31=-0,375EI2
1 0,2084EI2 r12 2 0,75EI2 0,4167EI2 EI2 0,3125EI2 r22 0,375EI2 r32 1 2 0,1875EI2 M2			r12=0,2084EI2
			r22=2,4792EI2
			r32=-0,1875EI2
1 0,375EI2 r13 2 0,1875EI2 0,375EI2 r23 M3			r13=-0,375EI2
			r32=-0,1875EI2

Продовження таблиці 10

Епюра	Схема	Рівняння рівноваги	Коефіцієнт
0,1875EI2 0,1875EI2  r33 1 2 0,0469EI2 М3			r33=0,4219EI2
1 90 2 90 R2F 25 R3F 1 2 360 90 R1F MF			R1F=-90
			R2F=-295
			R3F=25

Визначені коефіцієнти підставляємо до канонічних рівнянь:

Розв’язок системи рівнянь дає значення невідомих методу переміщень:

Сумарну епюру згинальних моментів (рис. 5.4, г) будуємо за формулою

На рис. 5.4 а, б, в) показані скориговані одиничні епюри.

Статична перевірка полягає у виконанні умови рівноваги жорстких вузлів рами, тобто сума моментів у кожному жорсткому вузлі повинна дорівнювати нулю (рис. 5.4, д).

29,162

а)

6,481

31,106

12,961

15,552

М₁Z₁

49,149

б)

88,462

117,949

24,574

36,86

88,974

М₂Z₂

в)

7.803

3.902

7.803

7.803

7.803

М₁Z₃

323,14

145,63

52,465

92,364

г)

161,57

29,162

23,303

85,146

81,25

54,488

7,749

65,997

М

92,364

29,162

145,63

323,14

д)

52,465

23,303

85,146

Рисунок 5.4

Епюри поперечних та поздовжніх сил будуються так само, як і під час при розв’язання задачі 4 методом сил. На рис 5.5 наведені ці епюри.

20,549

146,93

а)

(+)

(+)

22,236

(-)

(-)

7,291

37,764

12,786

(-)

93,07

62,786

7,763

Q

б)

-

7,763

(-)

(-)

184,694

29,527

N

Рисунок 5.5

На рисунку 5.6 наведені схеми розрахунку один раз кінематично невизначуваної рами, яка може бути додатково застосована для самостійної роботи студента. Варіант заданої схеми та жорсткість елементів рам приймається за узгодженням з викладачем.

q=14 кН/м F=40 кН 10 4 3 3 q=18 кН/м 4 6 6 1.	2.
q=17 кН/м F=100 кН 2 2 8 12 12 q=12 кН/м 4 8 3.	4.
4 4 3 3 6 F=110 кН F1=80 кН F1=80 кН q=15 кН/м 4 8 5 5 F1=60 кН 5.	6.
F1=60 кН 8 2 6 3 3 q=14 кН/м 10 2 8 7.	8.

Рисунок 5.6

q=12 кН/м 10 6 1 q=14 кН/м 8 8 5 9 F1=60 кН .	10.
q=14 кН/м F=80 кН 6 1 10 q=12 кН/м F=80 кН 12 4 4 EI= 11.	12.
q=16 кН/м F=80 кН 8 4 6 2 q=14 кН/м 12 8 6 13.	14.
EI= q=10 кН/м 8 4 5 5 EI= F=80 кН F=80 кН 12 6 3 3 3 3 3 15.	16.

Продовження рисунка 5.6

EI= F=80 кН F 12 3 2 3 EI= q=10 кН/м 5 5 4 6 17.	18.
F=40 кН 10 4 3 3 4 6 6 1 F1=90 кН 5 9.	2 F=30 кН F=30 кН 2 3 .
q=17 кН/м 2 8 12 12 4 8 2 F=100 кН 4 1.	2 q=12 кН/м 2.
4 4 3 3 6 F=110 кН F1=40 кН 4 8 5 5 2 q=14 кН/м 3.	2 q=10 кН/м 4.

Продовження рисунка 5.6

F1=60 кН 8 2 6 3 3 q=10 кН/м 10 2 8 F1=80 кН 2 q=8 кН/м 5.	26.
q=14 кН/м 10 6 1 q=14 кН/м 8 8 5 27.	2 q=10 кН/м 8.
EI= 8 4 5 5 EI= F=80 кН F=80 кН 12 6 4 4 3 3 3 2 q=8 кН/м 9.	30.
EI= F=60 кН F 12 4 2 4 EI= 5 5 4 6 3 1.	3 q=12 кН/м 2.

Продовження рисунка 5.6

q=16 кН/м 12 4 1 8 8 4 9 F1=50 кН q=12 кН/м .	1 q 0.
6 1 8 q=10 кН/м F=60 кН 12 4 4 1 q=14 кН/м F=80 кН 1.	12.

Продовження рисунка 5.6

Задача № 6 Розрахунок нерозрізної балки

Для балки, яка вибрана відповідно до варіанта (рис. 6.1) необхідно за допомогою рівняння трьох моментів побудувати епюри згинальних моментів М_z та поперечних сил Q_y.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 11.

Таблиця 11

Перша цифра шифру	F1, кН	F2, кН	q1 , кН/м	q2 , кН/м	Друга цифра шифру	l1, м	l2, м	l3, м	b, м	Остання цифра шифру (номер схеми)	c, м
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	50	120	10	18	1	6	10	8	2	1	5
2	55	115	11	19	2	8	10	12	2,1	2	4,9
3	60	110	12	20	3	10	12	14	2,2	3	4,8
4	65	105	14	21	4	7	11	9	2,3	4	4,7
5	70	100	15	22	5	12	8	8	2,4	5	4,6
6	75	95	16	23	6	10	12	6	2,5	6	4,5
7	80	90	17	24	7	8	8	12	2,6	7	4,4
8	85	85	18	25	8	12	10	8	2,7	8	4,3
9	90	80	19	26	9	8	9	11	2,8	9	4,2
0	95	70	20	24	0	6	8	10	3,0	0	4,0

Приклад розв’язання.

Степінь статичної невизначуваності балки (рис. 6.2, а) можна знайти за формулою

де С₀ – кількість опорних зв’язків.

Балка є два рази статично невизначуваною.

Основну систему методу сил отримуємо вводячи в опорні жорсткі перерізи шарніри (рис. 6.2, б).В цьому випадку за невідомі приймаються опорні згинальні моменти Х₁ та Х₂.

Система канонічних рівнянь методу сил для нерозрізних балок записується у вигляді рівняння трьох моментів:

l l1 l2 c F1 F2 q1 q2 b 1.

l1 l2 l3 c b F1 F2 q1 q2 b 2.

bv b l1 l2 c F2 F2 q1 q2 3.

b l1 l2 c F1 F2 q1 q2 4.

l1 l2 c F1 F2 q1 q2 l3 c 5.

Рисунок 6.1

l1 l2 b F1 F2 q1 q2 l3 c 6.

l1 l2 F1 F2 q1 q2 c b 7.

b l1 l2 l3 c F1 F2 q1 b 8.

c q2 l1 l2 l3 c F1 F2 q1 b 9.

b q2 l1 l2 c F1 F2 b 0.

Продовження рисунка 6.2

де Х_n-1, X_n, X_n+1 – невідомі опорні моменти на суміжних опорах; l_n, l_n+1 – довжина суміжних прогонів; A_n, A_n+1 – площа епюр згинальних моментів в суміжних прогонах від зовнішнього навантаження (рис. 6.2в); a_n, b_n+1 – відстані від центра ваги епюр A_n, A_n+1 до n-1 та n+1 опор відповідно.

Нумерацію опор необхідно починати з "0", а прогони – з "1".

Невідомі опорні моменти визначаємо за системою рівнянь для схеми (рис. 6.2, а.)

У канонічних рівняннях:

Епюра згинальних моментів (рис. 6.2, д) будується шляхом складання епюри М_F (рис. 6.2, в) та епюри опорних моментів (рис. 6.2, г).

Епюру поперечних сил можна побудувати аналогічно методу, розглянутому в задачі 4. Цю епюру наведено на рис. 6.2, е.

F₁=50 кН

F₂=80 кН

q=16 кН/м

а)

0

1

2

3

b=3 м

с=2 м

l₁=8 м

l₃=10 м

l₂=10 м

М₀=100 кН

Х₁

Х₂

б)

100

M_F

в)

а₁=4

b₁=4

а₂=5,7

b₂=4,3

100

80,51

51,69

90,26

60,34

M_оп

г)

100

80,51

51,69

M

д)

37,74

107,66

66,44

26,88

5,17

Q

(+)

(+)

(+)

е)

(-)

(-)

(-)

61,56

53,12

50

Рисунок 6.2

Задача № 7 Розрахунок статично

невизначуваної АРКИ

Для двохшарнірної арки або арки з затяжкою (рис. 7.1) необхідно побудувати епюри згинальних моментів, поздовжніх та поперечних сил.

Y

Y

F

F

1. 2.

q₁

q₁

q₂

q₂

l

l

f

f

X

X

l

l

Рис. 7.1

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 12.

Таблиця 12

Перша цифра шифру	F, кН	q1 , кН/м	q2 , кН/м	Друга цифра шифру	l, м			Остання цифра шифру	Обрис вісі	Номер схеми
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	50	20	--	1	18	0,4	0,2	1	*	1	--
2	60	--	14	2	20	0,5	0,3	2	**	1	--
3	70	22	--	3	22	0,6	0,4	3	*	2	0,30
4	80	--	15	4	24	0,2	0,15	4	**	2	0,35
5	90	24	--	5	25	0,8	0,18	5	*	1	--
6	100	--	16	6	26	0,2	0,25	6	**	1	--
7	55	26	--	7	27	0,6	0,35	7	*	2	0,40
8	65	--	18	8	28	0,4	0,22	8	**	2	0,45
9	75	28	--	9	30	0,5	0,14	9	*	1	--
0	85	--	20	0	32	0,2	0,16	0	**	2	0,25

* - обрис осі арки за колом; ** - обрис осі арки за параболою.

Розрахунок статично невизначуваної арки виконуємо методом сил. При цьому арка є один раз статично невизначуваною.

При утворенні основної системи для двохшарнірної арки в якості зайвої невідомої приймається горизонтальна реакція однієї з опор, для арки з затяжкою – зусилля в затяжці.

Канонічне рівняння методу сил має вигляд:

Коефіцієнти канонічного рівняння розраховуються за інтегралом Мора:

де М₁ – згинальний момент від Х₁=1, М₁= -y; М_F – згинальний момент від зовнішнього навантаження, розрахований як для балки на двох опорах довжиною, що дорівнює прогону арки l; s – повна довжина осі арки.

При обрисі осі арки за параболою координата y та тангенс кута нахилу  будь-якого перерізу обчислюються за формулами:

а при обрисі осі арки за колом за такими формулами:

Поперечний переріз арки можна прийняти у вигляді прямокутника з висотою, яка змінюється за законом d=d_ccos, де d_c – висота перерізу посередині прогону.

Ураховуючи, що I=I₀cos³, де I_0­ – момент інерції перерізу посередині прогону, коефіцієнти канонічного рівняння методу сил набувають вигляду:

Для розрахунку цих коефіцієнтів використовується метод наближеного інтегрування. Для цього вісь арки поділяється на рівні ділянки х. Так як вирази для обчислення ₁₁ та _1F набувають вигляду:

Для арки з затяжкою коефіцієнт ₁₁ визначається з виразу

,

де Е_з та А_з – модуль пружності та площа поперечного перерізу затяжки відповідно.

Зусилля в арці визначаються за формулами:

де Q_F – поперечна сила, розрахована для балки на двох опорах довжиною, яка дорівнює прольоту арки l.

Приклад розв’язання.

Двошарнірна арка (рис. 7.2, а) має обрис за параболою.

Розділяємо вісь арки на 10 частин, х = 2,4 м. Для кожної точки розбивки визначаються геометричні характеристики та балковіі значення (M_F, Q_F) внутрішніх зусиль від зовнішнього навантаження (рис. 7.2, в, г, д).

Подальший розрахунок для спрощення зводимо до таблиці 13.

.

Епюри зусиль в арці наведені на рис. 7.2е, ж, з.

F=80 кН

Y

q=20 кН/м

f=4,8 м

а) б)

О.С.

X₁

X

9,6 м

14,4 м

24 м

е)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

в)

322,56

645,17

967,68

1363,2

1320,96

1163,52

890,88

503,04

M

1290,24

M_F

г)

ж)

134,4

233,6

185,6

137,6

89,6

41,6

Q

6,4

Q_F

д)

з)

N

Рисунок 7.2

Таблиця 13

Номер точки	х, м	l – x, м	x(l - x), м		l - 2x, м		, град	sin	cos		y2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	24	0	0	24	0,8	0,675	0,625	0,781	6,451	0
2	2,4	21,6	51,84	1,728	19,2	0,64	0,569	0,539	0,842	4,775	2,986
3	4,8	19,2	92,16	3,072	14,4	0,48	0,448	0,433	0,901	3,642	9,437
4	7,2	16,8	120,96	4,032	9,6	0,32	0,31	0,305	0,952	2,922	16,257
5	9,6	14,4	138,24	4,608	4,8	0,16	0,159	0,158	0,987	2,529	21,234
6	12,0	12,0	144,00	4,8	0	0	0	0	1	2,4	23,04
7	14,4	9,6	138,24	4,608	-4,8	-0,16	-0,159	-0,158	0,987	2,529	21,234
8	16,8	7,2	120,96	4,032	-9,6	-0,32	-0,31	-0,305	0,952	2,922	16,257
9	19,2	4,8	92,16	3,072	-14,4	-0,48	-0,448	-0,433	0,901	3,642	9,437
10	21,6	2,4	51,84	1,728	-19,2	-0,64	-0,569	-0,539	0,842	4,775	2,986
11	24,0	0	0	0	-24	-0,8	-0,675	-0,625	0,781	6,451	0

Продовження таблиці 13

Номер точки		MF		-yX1	M=MF –yX1, кНм	Перевірка	QF, кН	Х1sin	QFcos
1	13	14	15	16	17	18	19	20	21
1	0	0	0	0	0	0	134,4	167,7	104,966
2	14,267	322,56	2661,507	-463,657	-141,097	-1164,22	134,4	144,62	113,165
3	34,369	645,12	7217,747	-824,279	-179,159	-2004,471	134,4	116,18	121,094
4	47,503	967,68	11400,726	-1081,866	-114,186	-1345,283	134,4	81,84	127,949
5	53,700	1290,24	15035,982	-1236,418	53,822	627,222	134,4 54,4	42,39	132,653 53,623

Номер точки		MF		-yX1	M=MF –yX1, кНм	Перевірка	QF, кН	Х1sin	QFcos
1	13	14	15	16	17	18	19	20	21
6	55,296	1363,20	15704,064	-1287,936	75,264	867,041	6,4	0	6,4
7	53,700	1320,96	15393,982	-1236,418	84,542	985,221	-41,6	-42,39	-41,059
8	47,503	1163,52	13708,016	-1081,866	81,654	962,007	-89,6	-81,84	-85,299
9	34,369	890,88	9967,365	-824,279	66,601	745,147	-137,6	-116,18	-123,978
10	14,258	503,04	4150,684	-463,657	39,383	324,957	-185,6	-144,62	-156,275
11	0	0	0	0	0	0	-233,6	-167,7	-182,442
EI011=	354,956	-EI01F=	95240,073			-2,379 < 3%

Продовження таблиці 13

Номер точки
1	22	23	24	25
1	-62,734	84,0	209,56	-293,56
2	-31,455	72,442	225,92	-298,362
3	4,914	58,195	241,76	299,955
4	46,109	40,992	255,44	-296,432
5	90,263 11,233	21,235 8,595	264,83	-286,065 -273,425
6	6,4	0	268,36	-6,4
7	1,331	-0,158	264,83	-264,672
8	-3,459	-27,328	255,44	-228,112
9	-7,798	-59,581	241,76	-182,179
10	-11,655	-100,038	225,92	-125,882
11	-14,742	-146,0	209,56	-63,56

Задача № 8 Розрахунок статично

невизначуваної ферми

Для ферми, яка обрана відповідно до варіанта (рис. 8.1) необхідно визначити зусилля в усіх стержнях ферми.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 14.

Таблиця 14

Перша цифра шифру	d, м	Площа перерізів поясів			Друга цифра шифру	F, кН	Площа перерізів			Остання цифра шифру (номер схеми)	h, м
		нижнього		верхнього			грат		елементів шпренгеля
1	2	3	4		5	6	7	8		9	10
1	2,6	А	1,3А		1	60	0,6А	1,1А		1	2,6
2	2,8	1,1А	1,5А		2	65	0,4А	1,2А		2	2,8
3	2,7	1,3А	1,4А		3	70	0,5А	А		3	3,0
4	2,9	1,5А	1,6А		4	75	0,7А	1,3А		4	3,2
5	3,0	1,2А	1,9А		5	80	0,8А	1,4А		5	3,4
6	3,2	0,9А	1,2А		6	85	0,9А	1,2А		6	3,6
7	3,4	0,8А	А		7	90	0,6А	0,8А		7	2,7
8	3,1	А	1,2А		8	95	А	1,1А		8	3,1
9	3,5	1,4А	1,6А		9	100	0,9А	А		9	2,9
0	3,0	1,2А	1,4А		0	80	0,8А	1,2А		0	3,5

Приклад розв’язання.

Ферма (рис. 8.2, а) симетрична відносно вертикальної осі.

Степінь статичної невизначуваності

,

де У – число вузлів; С_ф – число стержнів; С_о – кількість опорних зв’язків.

Ферма є один раз статично невизначуваною. Розрахунок виконуємо методом сил. Під час вибору основної системи необхідно враховувати її симетричність, замінюючи в даному випадку один з елементів шпренгеля невідомим зусиллям Х₁ (рис. 8.2, б).

Площа перерізів: верхнього поясу – 1,6А; нижнього – 1,4А; решітки – А; елементів шпренгеля – 1,2А.

F F F F F h 2d 2d 1.

F F F F F h 2d 2d F F F F F 2.

h /2 h 2d 2d 3.

h /2 h 2d 2d F F F F F F F F F F 4.

h 5. 2d 2d d d

Рисунок 8.1

F F F F F h 2d 2d F F F F F 6.

h 0,5h 2d 2d 7.

h 0,5h F F F 2d 2d F F F F F 8.

h h 2d d d F F F F F 9.

0.4h 0.6h 4d 0.

Продовження рисунка 8.1

F=20 кН

F

F

F

F

2

3

4

а)

h=2,4 м

1

5

8

1,2 м

7

6

d=3 м

d

d

d

F

F

F

F

F

б)

Х₁

2

3

4

І

ІІ

в)

H₁=0

5

І

ІІ

6

Х₁=1

R₁=0

R₈=0

7

F

F

F

F

F

2

3

4

І

ІІ

г)

H₁=0

5

І

ІІ

6

R₁=50 кН

R₈=50 кН

7

Рисунок 8.2

Канонічне рівняння методу сил

де ₁₁ – переміщення за напрямком Х₁ від дії Х₁=1 (рис. 8.2в); _1F – переміщення за напрямком Х₁ від дії навантаження F (рис. 8.2г).

Для обчислення коефіцієнтів канонічного рівняння необхідно визначити поздовжні зусилля в стержнях основної системи від Х₁=1 та від заданого навантаження, використовуючи спосіб наскрізних перерізів та вирізування вузлів. Для цього необхідно повторити тему 3 "Розрахунок плоских ферм". Після визначення зусиль подальший розрахунок виконується у вигляді таблиці 15.

Таблиця 15

Номер стержня	l, м		N1, кН	NF, кН						Перевірка
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2-3	3	0,625	0	0	0	0	0	0	0	0
3-4	3	0,625	-0,63	-50,0	-1,18	0,743	59,0	9,54	-40,46	47,74
1-5	3	0,714	0	37,5	0	0	0	0	37,5	0
5-6	3	0,714	1,25	37,5	2,678	3,348	100,41	-18,93	18,57	49,73
1-2	2,4	1,0	0	-20,0	0	0	0	0	-20,0	0
1-3	3,84	1,0	0	-48,0	0	0	0	0	-48,0	0
3-5	2,4	1,0	-0,5	0	-1,2	0,6	0	7,57	7,57	-9,08
3-6	3,84	1,0	0,81	16,0	3,11	2,52	31,1	-12,26	-2,26	-7,03
4-6	1,2*	1,0	0	-20,0	0	0	0	0	-20,0	0
5-7	3,23	0,83	-1,348	0	-3,614	4,872	0	20,41	20,41	-73,76
6-7	0,6*	0,83	1	0	0,498	0,498	0	-15,14	-15,14	-7,54
						12,581	190,51			 0

* - так як стержні 4-6 та 6-7 не мають симетричної пари, то їх довжина приймається в два рази меншою.

Задача № 9 Розрахунок плоскої рами на стійкість

Для заданої рами, яка обрана відповідно до варіанта (рис. 9.1) необхідно:

а) визначити критичні сили, використовуючи метод переміщень;

б) обчислити коефіцієнти приведення довжин стиснутих стояків рам;

в) показати форму втрати стійкості рами.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 16.

Таблиця 16

Перша цифра шифру	l1, м	h1, м	Друга цифра шифру		l2, м	Остання цифра шифру (номер схеми	h2, м
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	16	5	1	1,2	25	1	5	1,9
2	17	6	2	1,3	24	2	5	1,3
3	18	7	3	1,4	23	3	4	1,7
4	19	8	4	1,5	22	4	5	1,6
5	20	9	5	1,6	21	5	6	2,0
6	21	10	6	1,7	20	6	6	1,2
7	22	8	7	1,8	19	7	4	1,4
8	23	6	8	1,9	18	8	4	1,5
9	24	5	9	2,0	17	9	4	1,6
0	25	7	0	2,5	16	0	5	1,8

I₁ – момент інерції перерізу горизонтальних стержнів; I₂ – момент інерції перерізу вертикальних стержнів.

Приклад розв’язання.

Степінь кінематичної невизначуваності заданої рами (рис. 9.2, а) визначається так само, як і в задачі 5. Основну систему методу переміщень приведена на рис. 9.2, б.

Система канонічних рівнянь для розрахунку рами на стійкість має вигляд:

Для того, щоб Z₁0 або Z₂0, визначник цієї системи повинен дорівнювати нулю:

Це рівняння стійкості, з розв’язку якого знаходиться критичне навантаження F_кр. Для визначення коефіцієнтів r_ij необхідно побудувати епюри одиничних моментів в основній системі (рис. 9.2, в) та розглянути рівновагу жорсткого вузла і ригеля рами (рис. 9.2, г). Епюри від одиничних навантажень необхідно будувати за допомогою таблиці пружних реакцій стиснуто-зігнутого стержня (табл. 17).

h1 h2 F1 F2 l1 l2 h1 h2 F1 F2 l1 l2 F1 F2 1.	2.
h1 h2 h2 l1 h1 F1 l1 l2 F2 3.	4.

Рисунок 9.1

h2 h1 h1 h2 l1 F1 l1 l2 F2 F1 F2 l1 5.	6.
h1 h2 F2 l1 h1 h2 F1 F2 l1 l2 7.	8.
h2 h1 h2 F1 h1 l1 F1 F2 l1 l2 F2 9.	0.

Рисунок 9.1 (продовження)

F₁

F₁

а) б)

F₁

F₂

I₂

F₁

F₂

8 м

F₂

F₂

Z₁

Z₂

I₁

I₁

8 м

I₂

I₂

I₂

20 м

20 м

.

в)

Z₁=1

Z₂=1

М₁

М₂

r₁₁

г)

r₂₂

r₁₂

r₂₁

Рисунок 9.2

Визначаємо параметри , які відображають вплив поздовжніх стискуючих сил:

Визначаємо коефіцієнти рівняння стійкості:

Рівняння стійкості, яке визначає найменше значення ₁, розв’язуємо методом послідовних наближень, використовуючи таблицю 18, в якій наведені функції для аналізу стійкості. Більш повні значення цих функцій можна отримати з підручників [8, 13, 15].

У якості першого наближення приймаємо ₁=1. За таблицею 18 одержуємо наступні значення:

У якості другого наближення приймаємо ₁=2,6.

Таблиця 17

F Схема	Епюра моментів	Реакції
1 MA RA RB l MA
F 1 MA RA RB l MB MA MB 1
F MA RA RB l MA
F 1 MA RA RB l MB MA MB F 1
RA RB l

Таблиця 19

	1()	2()	3()	4()	1()	2()
0,00	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,20	0,9973	0,9986	1,0009	0,9992	0,9840	0,9959
0,40	0,9895	0,9945	1,0026	0,9973	0,9362	0,9840
0,60	0,9756	0,9881	1,0061	0,9941	0,8556	0,9641
0,80	0,9567	0,9787	1,0111	0,9895	0,7434	0,9362
1,00	0,9313	0,9662	1,0172	0,9832	0,5980	0,8999
1,20	0,8998	0,9511	1,0251	0,9756	0,4198	0,8556
1,40	0,8613	0,9329	1,0348	0,9669	0,2080	0,8025
1,60	0,8153	0,9116	1,0463	0,9567	-0,0380	0,7434
1,80	0,7609	0,8871	1,0600	0,9449	-0,3191	0,6749
2,00	0,6961	0,8590	1,0760	0,9313	-0,6372	0,5980
2,20	0,6202	0,8273	1,0946	0,9164	-0,9931	0,5131
2,40	0,5304	0,7915	1,1164	0,8998	-1,3896	0,4198
2,60	0,4234	0,7513	1,1417	0,8814	-1,8299	0,3181
2,80	0,2944	0,7064	1,1712	0,8613	-2,3189	0,2080
3,00	0,1361	0,6560	1,2057	0,8393	-2,8639	0,0893
3,20	-0,0635	0,5997	1,2463	0,8153	-3,4768	-0,0380
3,40	-0,3248	0,5366	1,2940	0,7891	-4,1781	-0,1742
3,60	-0,6862	0,4656	1,3508	0,7609	-5,0062	-0,3191
3,80	-1,2303	0,3850	1,4191	0,7297	-6,0436	-0,4736
4,00	-2,1725	0,2933	1,5018	0,6961	-7,5058	-0,6372
4,20	-4,3155	0,1877	1,6036	0,6597	-10,196	-0,8103
4,40	-15,330	0,0648	1,7310	0,6202	-21,783	-0,9931
4,50	227,80	-0,0048	1,8070	0,5991	221,05	-1,0884
4,60	14,669	-0,0808	1,8933	0,5772	7,6160	-1,1861
4,80	5,4020	-0,2572	2,1056	0,5304	-2,2777	-1,3895
5,00	3,3615	-0,4772	2,3924	0,4793	-4,9718	-1,6040
5,20	2,3986	-0,7630	2,7961	0,4234	-6,6147	-1,8299
5,40	1,7884	-1,1563	3,3989	0,3621	-7,9316	-2,0679
5,60	1,3265	-1,7481	4,3794	0,2944	-9,1268	-2,3189
5,80	0,9302	-2,7777	6,2140	0,2195	-10,283	-2,5838
6,00	0,5551	-5,1589	10,727	0,1361	-11,445	-2,8639
6,20	0,1700	-18,591	37,308	0,0424	-12,643	-3,1609
2	0,0000	-	+	0,0000	-13,033	-3,2898

Для точного визначення ₁ проведемо лінійну інтерполяцію (рис. 9.3).

₁

f(₁)

1

2,6

0,0363

0,00342

1,6

x

Рисунок 9.3

Таким чином, критичне значення _1кр=2,462.

Обчислюємо критичні сили за формулою

Наведені довжини стояків знаходимо за формулою

Форму втрати стійкості можна отримати, вважаючи, що в першому канонічному рівнянні Z₁=1. Тоді

Приблизна форма втрати стійкості наведена на рис. 19.4.

Z₁=1

Z₂=17,97

Рисунок 9.4

Задача № 10 Динамічний розрахунок плоскої

системи

Для плоскої рами, яка обрана відповідно варіанта (рис. 10.1) необхідно:

а) визначити кругову частоту власних коливань рами як системи з двома степенями вільності: ₁ та ₂ (власна вага системи не враховується);

б) визначити амплітуди динамічних переміщень від вібраційної сили F₀sint та побудувати епюри амплітудних значень динамічних згинальних моментів, поперечних та поздовжніх сил;

в) обчислити коефіцієнти динамічності за переміщеннями _z, згинальними моментами _M, поперечними силами _Q, поздовжніми силами _N.

Вихідні дані приймаються відповідно до шифру з таблиці 20.

Таблиця 20

Перша цифра шифру	l, м	G, м	Друга цифра шифру		F0, кН	Остання цифра шифру (номер схеми	EI, кНм2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	3,0	10	1	0,7	5,0	1	20000
2	4,0	12	2	0,6	6,0	2	25000
3	5,0	14	3	0,8	7,0	3	22500
4	6,0	16	4	1,1	8,0	4	22000
5	7,0	18	5	0,9	9,0	5	23000
6	8,0	20	6	0,9	10,0	6	21000
7	5,0	22	7	0,6	7,0	7	24000
8	7,0	24	8	1,1	8,0	8	23500
9	6,0	26	9	1,2	6,0	9	24500
0	4,0	28	0	0,8	9,0	0	21500

Приклад розв’язання.

Для системи (рис. 10.2а) задано: l=6 м; G= 20 кН; F₀= 6 кН; =0,8₂; EI=22500 кНм².  – частота вимушених коливань.

2l G 2l G F0sint l l l 2l F0sint l F0sint F0sint 1.	2.
1,5l 0,8l G G l/2 2l l 0,8l l l F0sint F0sint 3.	4.
l l l 2,5l G 3l 0,4l G 5.	6.

Рисунок 10.1

0,2l 0,2l l/2 2,5l 0,3l G F0sint 1,5l 2l l G F0sint F0sint 7.	8.
1,5l 2l 0,5l 2l G F0sint l 2l G 9.	0.

Продовження рисунка 10.1

Вантаж може рухатись в двох напрямках: вертикальному – Z₁ та горизонтальному – Z₂ (рис. 10.2, б). Тобто система має два степені вільності.

Для визначення частот власних коливань необхідно знайти корені частотного рівняння

де

У цих рівняннях ₁₁, ₂₂, ₁₂, ₂₁ – переміщення від одиничних сил, які

прикладені в місці знаходження зосередженої маси

F₀sint

Z₁

G

Z₂

а) б)

2l=12 м

l=6 м

l=6 м

2l=12 м

1

1

2l

в) г)

2l

l

l

M₁

M₂

Рисунок 10.2

Одиничні переміщення обчислюємо відповідно з одиничними епюрами моментів М₁ та М₂ (рис. 12.2, в, г), використовуючи правило Верещагіна або формулу Сімпсона.

Позначивши , одержимо:

Корнями цього рівняння є:

Частоти власних коливань обчислюються за формулами:

Коефіцієнти форм власних коливань, які відповідають цим частотам, можна визначити таким чином:

Ці коефіцієнти повинні задовольняти умові ортогональності форм власних коливань:

Похибка складає

Стан навантаження G, що спричиняє коливання за першою та другою формами коливань, показано на рис. 10.3.

₂₁=2,703

₂₂=0,37

₁₁=1

₁₂=1

Рисунок 10.3

Для визначення амплітуд переміщень та зусиль, які викликані вібраційним навантаженням F₀sint, необхідно обчислити амплітуди переміщень Z₁, Z₂:

Амплітуди сил інерції обчислюються за формулами:

Ці сили приєднуються до амплітуди зовнішнього навантаження

(рис. 10.4, а). Епюру амплітуд згинальних моментів можна отримати з формули:

епюри поперечних та поздовжніх сил за методами опору матеріалів

(рис. 10.4в, г).

Найбільші значення амплітуд переміщень, моментів, поперечних сил визначаються за формулами:

1,42F₀

F₀

0,96F₀

а) б)

0,3F₀l

M

1,613F₀l

0,96F₀l

2,573F₀l

0,154F₀

(+)

в) г)

2,573F₀

0,96F₀

(+)

(-)

Q

N

Рисунок 10.4

Амплітудні значення цих же величин під час статичного прикладення амплітуди сили F₀ можна визначити так:

коефіцієнти динамічності таким чином