4.8. Еквівалентні функції

Означення. Функції f(x) і g(x) називають еквівалентними у точці x₀ (або еквівалентними на нескінченності) і пишуть f(x)  g(x), x  x₀ (x  ), якщо

. (4.2)

Приклад. Доведемо, що многочлен еквівалентний на нескінченності своєму доданку, що містить найвищий степінь х:

 при x  . (4.3)

Розглянемо границю

= ====1 + + … + + .

Функції виду ,   0, є нескінченно великими при x  , отже функції є нескінченно малими і . Таким чином,

= 1,

і згідно з означенням еквівалентних функцій (4.2)  при x  .

Теорема (властивість еквівалентних функцій). Якщо f(x) і g(x) – еквівалентні функції в точці x₀, то

(f(x)h(x)) = (g(x)h(x)) і = , (4.4)

якщо існує границя в одній з частин рівності.

Доведення. Нехай, наприклад, існують границі в правих частинах рівностей (4.4). Тоді

(f(x)h(x)) = =·(g(x)h(x)) = =1·(g(x)h(x));

==·=1·.

Цілком аналогічно проходить доведення для випадку, коли існують границі в лівих частинах рівностей (4.4).

Приклад. Знайти границі

а) ;

б) ;

в) .

Розв'язання. При розв’язанні цих прикладів ми не можемо скористатись властивістю границь 4 в), тому що і чисельник, і знаменник дробів є нескінченно великими функціями, тобто не мають границі. В такому випадку говорять, що це невизначеність виду . Скористаємось рівностями (4.4) та еквівалентністю (4.3). Замінимо чисельник та знаменник кожного дробу на еквівалентну функцію:

а) = = ;

б) = = , бо функція є нескінченно великою при x  ;

в) = = = 0, оскільки функція є нескінченно малою при x  .

4.9. Визначні границі

1. Перша визначна границя – це границя

. (4.5)

Доведення. Зауважимо, що при обчисленні цієї границі не можна скористатись властивістю 4 в) границь, тому що границя знаменника дорівнює нулю.

Рис. 4. 3

В колі одиничного радіуса (рис. 4.3) розглянемо центральний гострий кут х = АОВ, х  ( 0; . Знайдемо площі трикутників АОВ і АОС та сектора АОВ.

S_AOB = ;

S_AOC = ;

S_{сектора AOB} = .

За малюнком S_AOB < S_{сектора AOB} < S_AOC, отже

.

Оскільки sin x > 0 при x  ( 0; , можемо розділити ці нерівності почленно на . Одержимо або

.

Через парність функцій і ці нерівності зберігаються і при x  (–; 0). При цьому і за властивістю 6 виходить, що .

Наслідки. 1. ;

2. ;

3. .

Таким чином, згідно з означенням еквівалентних функцій (4.2), при x  0

sinx  x;

tgx  x;

arcsinx  x;

arctgx  x.

Очевидно, що всі ці співвідношення залишаться в силі, якщо замінити в них x на яку-небудь нескінченно малу функцію.

Приклад. Обчислити .

= = = = .

2. Друга визначна границя:

, (4.6)

де е  2, 718 – стала Ейлера.

Наслідок. Нехай (x) – нескінченно мала функція, а (x) – нескінченно велика при x  x₀. Тоді

. (4.7)

Доведення. Зрозуміло, що рівність (4.6) збережеться, якщо замінити x на будь-яку нескінченно велику функцію. Зробимо деякі арифметичні перетворення:

.

Оскільки (x) – нескінченно мала функція, то – нескінченно велика при x  x₀. Таким чином,  е при x  x₀. Звідси і виходить рівність (4.7).

Приклад. Обчислити .

Розв'язання. Тут згідно з еквівалентністю (4.3) , а покажчик степеня нескінченно великий при x  , тобто маємо невизначеність типу . Саме такого характеру невизначеність у виразі (4.6). Щоб скористатись наслідком (4.7), перетворимо заданий вираз, виділивши в дужках одиницю:

= = = == = = .