Лекция 3. Общее описание системы моделей принятия решений

Если исходить из представления о многослойном характере неопределенности, имеющей место при оценке ожидаемой эффективности сложных решений, то логично снижать ее степень послойно и последовательно на макро-, мезо- и микроуровне⁷. На каждом из уровней неопределенность уменьшается с помощью построения и анализа специальной модели, специальной в том смысле, что она учитывает особенности информационной обеспеченности сложных решений на рассматриваемом этапе его жизненного цикла

. Поэтому параметры моделей измеряются в разных шкалах – качественных и количественных, причем первые превалируют на макроуровне, а вторые на микроуровне. Соответствующие модели могут применяться как автономно, для сравнения эффективности конкурирующих альтернатив сложных решений на разных этапах их жизненных циклов, так и для сравнения вариантов одного и того же решения в скользящем режиме.

Основой формулируемой ниже системы моделей является известная рационалистическая установка о необходимости сопоставления полных затрат и результатов по всему жизненному циклу сложного решения с учетом факторов времени и неопределенности. К реализации принимается такая альтернатива из числа конкурирующих, которая гарантирует с приемлемым уровнем риска получение неотрицательного сальдо при сопоставлении затрат и результатов. Величина именно этого сальдо в дальнейшем именуется ожидаемой эффективностью альтернативы и служит критерием определения предпочтительной альтернативы.

В общей форме основные этапы такого анализа выражаются в виде ряда соотношений [17].

Уравнение

         (1.1)

показывает, что для любого из вариантов решения проблемы, например, транспортной, возникающей, например, при проектировании переправы через водную преграду, выгоды E от создания переправы являются функцией альтернативы x, выбранной из ряда технически осуществимых альтернатив (например: мост, тоннель, паром).

Аналогично, формулирование модели затрат заключается в нахождении зависимости между альтернативами x и затратами С:

. (1.2)

Эффективность U альтернативы определяется соотношением выгод E, которые естественно максимизировать, и затрат С, которые столь же естественно минимизировать. Тогда, если имеется несколько конкурирующих альтернатив, проблема получения наибольшей эффективности сведется к максимизации U(x_i) по i{1, , n} (в нашем примере n = 3).

Можно, например, определить эффективность соотношением

U = E / С (1.3)

и ввести ограничение U ≥ R, где R – некий «барьерный» уровень эффективности, указывающий минимальную приемлемую для ЛПР эффективность альтернативы. Тогда все альтернативы, не удовлетворяющие ограничению, должны быть отвергнуты. Заметим, что показатель эффективности (1.3) корректен только при сопоставлении альтернатив примерно одинакового масштаба.

Более корректным способом задания ограничений для статического случая является фиксация единого уровня допустимых затрат по сравниваемым альтернативам. Тогда при заданном уровне затрат находится альтернатива с максимально возможным уровнем выгодности Е.

Симметрично, можно задать минимальный допустимый уровень выгоды Е, одинаковый для всех альтернатив, и искать наименее затратную из них по С. Во всех трех случаях затраты и выгоды каждой альтернативы КИП сопоставляются попарно для того, чтобы:

• в первом случае – определить наиболее эффективную альтернативу, когда альтернативы различаются выгодами и затратами;

• во втором случае – выбрать наиболее выгодную альтернативу из тех, для которых затраты не выше указанного уровня;

• в третьем случае – выбрать альтернативу с минимальными затратами из альтернатив, выгодность которых не ниже указанного уровня.

Описанная модель «затраты – выгоды»⁸ является универсальным отражением общей рационалистической установки, независимо от способов и возможностей измерения и соотнесения затрат и выгод в каждом частном случае. При конкретизации модели выясняются ее важные модификации.

А. Если затраты и выгоды однозначно измеримы в денежных единицах, то можно оценить экономическую эффективность альтернативных КИП во всех трех указанных выше постановках, пользуясь, например, соотношением (1.3). При динамической постановке задачи, естественно, следует учитывать неравноценность разновременных затрат и выгод.

Б. Если затраты и выгоды в денежных единицах невозможно оценить однозначно, то, чтобы учесть фактор неопределенности, необходимо трансформировать (1.3) и максимизировать по i{1, , n} функцию

U(x_i, y₁,…, y_m), (1.4)

где y₁, , y_m – сценарии развития внешней среды проекта, от характеристик которых U зависит не в меньшей степени, чем от характеристик альтернативы x_i. Но характеристики x_i (точнее, набор характеристик, соответствующий одной из альтернатив) мы выбираем, поэтому номер альтернативы есть управляемый параметр (переменная задачи). Сценарии же нами не выбираются, и, в случае неопределенности, невозможно предсказать, какой из сценариев y_j реализуется. Поэтому функция U зависит не от одного (предсказанного) сценария, а от всей совокупности сценариев, которая описывает возможные состояния внешней среды в период реализации проекта. В предположении, что мы умеем оценивать эффективность u_ij альтернативы x_i в сценарии y_j, можно считать, что эффективность x_i при неопределенности сценария зависит от множества значений {u_ij | 1  j  m}. В такой ситуации, как при статической, так и при динамической постановке задачи оценки альтернативы U называют показателем ожидаемой экономической эффективности.

В. При первоначальной оценке КИП стремятся, как правило, учесть фактор так называемой «радикальной неопределенности» крупномасштабных затрат и стратегических выгод, например, политического характера, которые не могут быть измерены в денежных единицах, т.е. в количественной шкале. В этом случае и всегда, когда некоторые компоненты потерь и/или выгод измерены в качественно-количественных шкалах, во всех трех вариантах общей рационалистической установки (см. А, Б, В выше) U в (1.4) называют показателем ожидаемой стратегической эффективности. Задачу оценки ожидаемой стратегической эффективности альтернатив ввиду сложности формулируют обычно как статическую или полудинамическую.

Учитывая изложенное ранее, детализируем выражение (1.4) в виде сначала логической [1]⁹, а затем – экономико-математической модели оценки ожидаемой эффективности сложного решения в условиях неопределенности [2,3].

Для демонстрации логической структуры решения задачи (1.4) она представляется следующим набором элементов.

Дано: X, Y, S, E, U; требуется найти x*, где:

X – множество сравниваемых альтернатив;

Y – множество сценариев-контрастов внешних условий реализации альтернатив;

S – множество исходов взаимодействия альтернатив xX и сценариев-контрастов yY;

U – множество критериев оценки эффективности элементов множества S;

E – система целей альтернатив, степень достижения которых измеряется с помощью критериев U;

xX – одна из альтернатив, предпочтительная по совокупности критериев U.

Перечисленные элементы задачи и связи между ними будем в дальнейшем называть логической моделью оценки альтернатив решения сложной проблемы. Эта модель схематически изобра­жена на рис. 4.1.

+

Рис.2.1. Логическая модель оценки КИП

Процессы проектирования (разработки) альтернативных вариантов решения и сценариев-контрастов развития его внешней среды не являются предметом рассмотрения в данном пособии (хотя тесно связаны с процедурами оценки), тем не менее, кратко, на уровне принципов, опишем соответствующие основные приемы.

1. Агрегированное представление множества теоретически возможных альтернатив (управляемых факторов) множеством альтернативных (взаимоисключающих) альтернатив X [4].

2. Неуправляемые альтернативы y_jY следует трактовать как сценарии-контрасты развития «внешней среды»: государственной региональной политики, рынка транспортных услуг, поведения конкурентов и т.п., поскольку сочетания факторов, характеризующих эти сценарии, находятся на противоположных границах их допустимых значений. Например, в одном сценарии (пессимистическом) группируются все негативные сочетания, в другом (оптимистическом) – все позитивные, в третьем (наиболее вероятном) – наиболее достоверные комбинации и т.д.¹⁰

3. Каждый исход S есть результат взаимодейсьвия некоторой управляемой альтернативы (из множества X) и какой-то неуправляемой альтернативы (из множества Y), поэтому разные исходы являются также взаимоисключающими (альтернативными). Каждому исходу соответствует не только набор показателей эффективности (полученный с помощью критериев из U), но и организационно-экономический механизм его реализации, который также подлежит разработке и оценке в процессе проектирования.

4. При окончательном выборе предпочтительной альтернативы необходимо учитывать совокупность всех критериев, что и порождает системный эффект. Если при разных критериях наилучшими оказываются разные альтернативы, то один из возможных подходов - конструирование сводного, синтетического критерия.

Правила оценки наиболее предпочтительной альтернативы состоят в следующем. Исход sS однозначно определяется парой (x_i, y_j), x_iX (i = 1, …, n), y_jY (j = 1,  …, m). Для каждой цели e_kE необходимо сформулировать критерий u_k, который позволил бы оценить исходы с точки зрения их соответствия цели е_k. Зафиксируем пару (x_i, y_j), что соответствует гипотетической реализации альтернативы x_i в условиях сценария y_j. Выше изложены три варианта трактовки модели „затраты – выгоды”. Им соответствуют три подхода к определению значения критерия u_k(x_i,y_j).

(А) Если в рассматриваемой ситуации затраты, связанные с достижением цели e_k, превосходят некоторый заданный уровень, то u_k(x_i,y_j) = – ; в противном случае критерий принимает значение, равное степени достижения цели е_k. они упорядочиваются по возрастанию. Такой критерий соответствует второму варианту модели «затраты – выгоды»;

(Б) Если в рассматриваемой ситуации степень достижения цели е_k меньше некоторого заданного уровня, то u_k(x_i,y_j) = – ; иначе u_k(x_i,y_j) = –с(x_i,y_j), где с(x_i,y_j) – величина потерь (затрат), связанных с достижением цели e_k. Этот критерий оценки соответствует третьему варианту трактовки модели «затраты – выгоды».

(В) Значение критерия равно отношению степени достижения цели е_k при реализации альтернативы x_i в условиях сценария y_j к величине связанных с этим затрат. Это правило оценки соответствует первому варианту трактовки модели «затраты – выгоды».

Частные критерии u_k образуют множество U. Применение этих критериев можно представлять себе следующим образом. Выбираем наилучшую альтернативу по каждому критерию. Если удастся произвести окончательный выбор из полученного набора «односторонне хороших» альтернатив, то процедура закончена. В противном случае нужно сформировать интегральный критерий, о котором мы упоминали выше, и использовать его для выбора альтернативы.

Для выбора наиболее предпочтительной альтернативы в условиях неопределенности на данном этапе используется модель стратегических игр [5]. Она рассматривает ситуацию принятия решения в условиях неопределенности (сценария развития внешней среды) как игру лица, принимающего решение (ЛПР), с природой». ЛПР выбирает стратегию (альтернативу), а природа (внешняя среда проекта) «выбирает» сценарий, вследствие чего определяется исход игры. Главное предположение этой модели – отсутствие у внешней среды собственной цели: природа не дружественна и не враждебна, но плохо предсказуема. Выбор альтернативы осуществляется по предварительно зафиксированному критерию u(x_i,y_j). Это может быть один из частных критериев u_k или интегральный критерий, о котором мы говорили выше. Каждая стратегия оценивается по выбранному критерию в условиях каждого сценария. В результате формируется оценочная матрица вида, приведенного в табл.4.1.

Множество всех элементов оценочной матрицы отражает, таким образом, оценку исходов, соответствующих всем возможным парам «альтернатива x_i – сценарий y_j» по выбранному критерию. Пусть u(x_i,y_j) = u_ij.

Теория принятия решений рекомендует для выбора альтернативы по оценочной матрице использовать одно из приведенных далее специальных правил.

1. «Максиминное» правило Вальда (наибольшей осторожности). Находим

u* = . (4.1)

Выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается внешний максимум. Это правило отражает установку человека, не склонного к риску, пессимиста, относящегося к неопределенности с опасением. Правило, действительно, ограждает от катастрофически неправильных решений. Альтернатива x*, выбранная по правилу Вальда, называется максиминной. Ее называют также гарантирующей [6], так как при выборе этой альтернативы значение критерия эффективности не может быть меньше, чем u*, в любом из учитываемых сценариев.

Таблица 4.1

Оценочная матрица

Альтернативы xiX	Сценарии yjY
	x1	…	xj	…	xm
x1	u11	…	u1j	…	u1m
…	…	…	…	…	…
xi	ui1	…	uij	…	uim
…	…	…	…	…	…
xn	un1	…	unj	…	unm

2. Правило Сэвиджа (минимаксного сожаления). Для расчета по критерию Сэвиджа строится т.н. матрица сожалений (рисков) c_ij. Она строится путем преобразования исходной оценочной матрицы (Табл. 4.1) следующим образом. В каждом столбце j оценочной матрицы находим наибольший элемент v_j = max_i u_ij, после чего из найденного числа последовательно вычитаем из всех элементов столбца j; поскольку вычитаемые числа не больше v_j, значения «сожалений» c_ij будут неотрицательными. Формально:

.

Далее находим

u* = . (4.2)

Выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается внешний минимум в (4.2). Эту альтернативу называют минимаксной, она тоже гарантирующая, т.к. в любом из рассматриваемых сценариев она обеспечивает риск, не превышающий u*.

3. Правило максимакса (крайнего оптимизма). Выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается внешний максимум в формуле (4.3):

u* = . (4.3)

Это правило приемлемо только для крайнего оптимиста, азартного игрока, склонного к риску.

4. Правило Гурвица. Для каждой альтернативы x_i находим

,

и вычисляем показатель

, где .

При заданном  выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается максимум в формуле (4.4):

u* = . (4.4)

В критерии Гурвица параметр  можно интерпретировать как меру осторожности лица, принимающего решение. При  = 0 получаем «оптимистическое» максимаксное, а при  = 1 – «осторожное» максиминное правило.

5. Правило Лапласа. Все сценарии считаются равновероятными, и для каждой альтернативы определяется показатель

.

Выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается максимум в формуле (4.5):

u* = . (4.5)

Это правило называют также правилом «недостаточного основания»: поскольку о возможности реализации сценариев развития внешней среды ничего не известно, предполагается, что они равновероятны (равновозможны). Величина v_i есть среднее арифметическое показателей эффективности по соответствующей строке матрицы, а предпочтительной является альтернатива, дающая максимум из этих средних.

6. Правило Байеса. Используется, когда известно априорное распределение вероятностей реализации сценариев

.

Для каждой альтернативы вычисляется показатель

.

Выбирается та альтернатива x_i, для которой достигается максимум в формуле (4.6):

u* = . (4.6)

* * *

Перечисленные правила принятия решений в условиях неопределенности являются классическими, базовыми. Есть и другие, менее известные, например, Ходжа-Лемана, Кофмана, Гермейера, произведений, максимальной вероятности заданного уровня ценности, обобщенный критерий Гурвица. Желающие могут ознакомиться с ними по работам [12,13]. Здесь же сделаем важное методическое замечание.

Четыре первых правила – Вальда, Сэвиджа, максимакса и Гурвица –применяются для оценки альтернатив, когда неизвестны вероятности реализации сценариев развития внешней среды. Такая ситуация называется ситуацией «радикальной неопределенности».

Два последних правила – Лапласа и Байеса – применяются для оценки альтернатив, когда известны вероятности реализации сценариев развития внешней среды. Такая ситуация называется ситуацией риска¹¹.

Мы будем в дальнейшем использовать эти правила на разных уровнях (этапах) оценки ожидаемой эффективности альтернатив, каждый раз связывая используемые правила с характером неопределенности, имеющей место на соответствующем уровне.

Литература

1. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса / Пер. с англ. Общ. ред. Д.М. Гвишиани. – М.: Изд-во «Прогресс», 1974, с. 299.

2. Радвик Б. Военное планирование и анализ систем. Сокр. пер. с англ. В. Базарова, Л. Какунина, К. Трофимова под ред. А.М. Пархоменко. М.: Воениздат, 1972 – 477с.

3. Клиланд Д., Кинг В. Системный анализ и целевое управление // Пер. с англ. М.: «Сов. радио», 1974. – 277с.

4. Петраков Н.Я. Некоторые аспекты теории и практики функционирования хозяйственной системы на современном этапе. – В кн.: Первая конференция по оптимальному планированию и управлению народным хозяйством: Тезисы докладов. – М., 1971, с. 1-31.

5. Петраков Н.Я. Теория народнохозяйственного критерия оптимальности и практические задачи совершенствования системы плановых показателей. – В кн.: Проблемы народнохозяйственного критерия оптимальности: Материалы дискуссии. – М.: Наука, 1982, с.19-31.

6. Литвак Б.Г. Экспертные технологии в управлении: Учеб. пособие. - 2-е изд., испр. и доп. – М.: дело, 2004. – 400с.

7. Наппельбаум Э.Л. Системный анализ как программа научных исследований – структура и ключевые понятия // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 1979. с. 55- 77.

8. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Э.И. Позамантир, Смоляк С.А., Кобылковский Г.П. Крупномасштабные транспортные проекты как объект оценки // Материалы научно-практической конференции «Транспортные инвестиционные проекты: народнохозяйственная, региональная и коммерческая эффективности». М.: РАН, СОПС, 2005. С. 5-34.

9. Лефевр В.А. Системы, сравнимые с исследователем по совершенству // Системные исследования. Ежегодник 1969.- М.: Изд-во Наука, 1969. С.104-110.

10. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь / Словарь современной экономической науки. Издание 4-е, перераб и доп. М.: Изд-во «ABF», 1996, с. 328-329.

11. Квейд. Э. Анализ сложных систем. Пер. с англ. под ред. И. И. Ануреева, И. М. Верещагина. М., изд-во «Советское радио», 1969, 520 стр.

12. Хауштейн Г.Д. Методы прогнозирования в социалистической экономике. М.: Прогресс, 1971. - 391с.

13. Хозяйственный риск и методы его измерения. Пер. с венг./ Бачкаи Т., Месена Д. и др. – М.: Экономика, 1979. – 184 с.