Линейная зависимость векторов.

Система векторов а₁, а₂, . . .а_п, называется линейно зависимой, если существуют такие числа α₁ , α₂ , … α_п , одновременно не равные нулю,

что линейная комбинация этих векторов с этими коэффициентами равна нулевому вектору, т.е. α₁ а₁ + α₂ а₂ + … + α_п а_п = 0 .

Система векторов а₁, а₂, . . .а_п, называется линейно независимой, если, линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору α₁ а₁ + α₂ а₂ + …

+ α_п а_п = 0 только в одном случае, когда все коэффициенты α₁ , α₂ ,… α_п, одновременно равные нулю.

Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов обладают следующими свойствами:

1^о) Система векторов а₁, а₂, . . .а_п (п 2) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы является линейной комбинации остальных векторов.

2^о) Если система содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

3^о) Если подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

4^о) Если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима.

Теорема о коллинеарных векторах.

Если векторы а и b коллинеарны и вектор а ненулевой вектор, то существует единственное число λ такое, что а = λ b.

Теорема о компланарных векторах.

Если векторы а, b и с компланарны и векторы а и b не коллинеарны, то существует единственная пара чисел λ и β такие, что с = λ а + β b.

Теоремы о линейной зависимости системы двух и трех векторов:

1. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

2. Система, состоящая их трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

1.17. Система, состоящая из векторов а и b линейно зависима. Всегда ли существует такое число х, что а = х b ? Если нет, то привести пример.

ОТВЕТ.. Нет, если а0, b = 0.

1.18. Система, состоящая из векторов а, b и с линейно зависима. Всегда ли существует такие числа х и у, что с = х а + у b ? Если нет, то привести пример.

ОТВЕТ. . Нет, если векторы а и b коллинеарны, а векторы а и с не коллинеарны.

1.19. Для каких векторов а и b каждый вектор можно выразить через другой.

ОТВЕТ.. Если а 0 и b 0 или а = b = 0

1.20. Для каких векторов а, b, с каждый вектор можно выразить через два других.

ОТВЕТ. Если векторы а, b, с компланарны и попарно не коллинеарны или а = b = с = 0.

ПРИМЕР 1. 6

Векторы а, b, с не компланарны. Выяснить, является ли следующая система векторов линейно зависимой: а) { а + 3b, 2а – с, 4а + 6 b – с},

б) {а + b, b + с, с + а}.

РЕШЕНИЕ

Для того, чтобы выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой надо, исходя из определения линейно зависимой системы векторов, найти такие числа х, у, z, одновременно не равные нулю, что линейная комбинация данных вектор с коэффициентами х, у, z будет равна нулевому вектору. Если же таких чисел, одновременно не равных нулю, не найдется, то данная система векторов будет линейно независимой.

а) Приравняем линейную комбинацию векторов данной системы к нулевому вектору

х(а + 3 b) + у( 2а – с) + z (4а + 6 b – с) = 0 ( 1)

Теперь исходя из свойств сложения векторов и свойств произведения векторов на число, раскроем скобки и найдем коэффициенты при векторах а, b и с.

Из (1) следует: х а + 3х b + 2у а – ус + 4z а + 6z b – z с = 0 и

(х + 2у + 4 z) а + (3х + 6 z) b + (-у – z) с = 0 (2)

Так как векторы а, в, с не компланарны, то система векторов {а, b, с} линейно независима, тогда из определения линейно независимой системы векторов следует что равенство (2) выполнятся только тогда, когда все три коэффициента при векторах а, b, с одновременно равны нулю, следовательно,

х + 2у + 4 z =0 , 3х + 6 z = 0, -у – z = 0.

Выражая из второго и третьего из этих уравнений х и у через z, получим,

х = -2z, у = - z.

Подставляя эти выражения для х и у в первое уравнение получим:

-2z + 2(-z) + 4 z = 0. Это равенство верно для любых значений z, следовательно, решением трех полученных уравнений являются любые числа х, у, z, удовлетворяющие условиям х = -2 z, у = - z. В частности, если

z = 1, то х = -2, у = -1.

Таким образом, мы нашли ненулевые коэффициенты х = - 2, у = - 1. z = 1, для который верно равенство (2), а значит и равенство (1). Следовательно, данная система векторов линейно зависима.

б) Приравняем линейную комбинацию векторов данной системы к нулевому вектору

х (а + b) + у(b + с) + z( с + а) = 0 ( 3)

Из (3) следует:

(х + z) а + (х + у) b + (у + z) с = 0 (4)

Так как векторы а, b, с не компланарны, то система векторов {а, b, с} линейно независима, тогда из определения линейно независимой системы векторов следует что равенство (4) верно только в одном случае, когда все коэффициенты при векторах а, b, с равны нулю.

х + z = 0 , х + у = 0, у + z = 0.

Выражая из второго и третьего из этих уравнений х и z через у, получим,

х = - у, z = -у.

Подставляя эти выражения для х и z в первое уравнение получим:

-у - у = 0. и значит у = 0, поэтому х = 0 и z = 0

Таким образом, мы выяснили, что равенство (4 ), а значит и равенство (3) верны только в том случае, когда х = у = z = 0. Следовательно, данная система векторов линейно независима. ■

1.21. Векторы а и b не коллинеарные. Выяснить, являются ли данные системы векторов линейно независимыми: а) {2а, - b}, б) { а – b, -4 b, а + b},

в) {-3а, 5 b, а}, г) {2а, 0, 3 b} .

ОТВЕТ. а) линейно независимы, б), в) - линейно зависимы.

1.22. Векторы а, b, с не компланарны. Являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми: а) {а + b, а - b, а}, б) (4а, -6 b, 3с},

в) {а, а + b, с}, г) (3а + b, а + с, b - 2 с}?

ОТВЕТ. а) линейно зависимы, б), в), г) - линейно независимы.

1.23. Векторы а, b, с не компланарны. Выяснить, при каких значениях х векторы (а + b), (b + с), (ха + с) также не компланарны.

ОТВЕТ.. х – 1.