- •§ 7. Отображения метрических пространств. Непрерывность отображений
- •Для функционала , заданного формулой , найдите:
- •Функционал задан формулой . Найдите:
- •Дополнительные задания
- •§8. Компактные множества в метрических пространствах
- •Дополнительные задания
- •§ 9. Полные метрические пространства
- •Дополнительные задания
- •§ 10. Принцип сжимающих отображений
- •Дополнительные задания
- •§11. Измеримые множества
- •Дополнительные задания
- •§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
- •Дополнительные задания
§ 12. Функции, измеримые по Лебегу
Литература: [1], глава II, §§ 1-3.
Задачи этого параграфа позволят студенту глубже усвоить понятие измеримой по Лебегу функции на некотором множестве; научиться доказывать различные свойства измеримых функций, используя определение измеримой функции.
Часть задач связывает материал данного параграфа с материалом §11, что поможет осознать связь между измеримостью множеств и измеримостью функций.
-
Выясните, измерима ли функция на множестве , если функция измерима на этом множестве.
-
Верно ли, что если функция измерима на множестве , то и функция также измерима на этом множестве? Справедливо ли обратное утверждение?
-
Докажите, что если функция измерима на множестве , то и функция также измерима на этом множестве. Верно ли обратное утверждение?
-
Покажите, что если функции и измеримы на множестве , то и функции а) ; б) также измеримы на этом множестве.
-
Следует ли из измеримости функций , и , измеримость функций и ?
-
Докажите, что если функции и измеримы на множестве , то функции
а) ; б)
также измеримы на множестве .
-
Докажите, что если функция измерима на всяком отрезке , то она измерима и на всем отрезке .
-
Докажите, что если функция дифференцируема на отрезке , то производная функция измерима на этом отрезке.
-
Пусть функция измерима на множестве . Выясните, будет ли для произвольно заданных чисел , где , измерима на множестве функция
.
-
Измерима ли функция , равная во всех точках канторова множества и равная во всех остальных точках отрезка ?
-
Пусть - характеристическая функция множества рациональных чисел, то есть . Докажите, что ее произведение на любую функцию есть функция измеримая.
-
Пусть функция измерима на множестве , - произвольное открытое или замкнутое множество на числовой прямой. Докажите, что прообразом множества во всех этих случаях является измеримое подмножество множества .
Дополнительные задания
-
Докажите, что если - измеримое множество, то характеристическая функция измерима. Если же - неизмеримое множество, то - неизмеримая функция.
-
Является ли измеримой функцией сумма сходящегося на отрезке ряда измеримых функций?
-
Пусть - измеримая на множестве функция, - множество ее значений, а - функция, непрерывная на . Выясните, является ли измеримой на множестве сложная функция .
-
Пусть измерима на множестве , - измеримое подмножество множества . Обязано ли множество быть измеримым? Если нет, то приведите соответствующий пример.
-
Пусть - функция, непрерывная на отрезке , - множество ее значений, а - функция, измеримая на . Обязана ли быть измеримой на множестве сложная функция ?