39. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии за счет периодически действующего фактора, изменяющегося по гармоническому закону.

– сила внешняя вынужденная

механические колебания

Электромагнитные колебания:

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными механическими или вынужденными электрическими колебаниями.

Запишем для вынужденных колебаний дифференциальное уравнение:

– для механических колебаний

– для электромагнитных колебаний

Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения для вынужденных колебаний равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

Частное решение будем искать в комплексной форме.

– решение

Такое число можно представить в виде , где

Таким образом частное решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Общее решение однородного уравнения:

S₂ играет существенную роль в начальной стадии процесса. В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими, и .

40. Явление резонанса. Резонансные кривые

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте – той частоте, на которой амплитуда достигает максимума.

Посмотрим, как зависит амплитуда и фаза вынужденных колебаний от частоты.

Продифференцируем подкоренное выражение по и приравняем к 0.

Покажем зависимость амплитуды и фазы от частоты графически.

резонансные кривые для амплитуды фазовые резонансные кривые

41. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты.

Построим векторные диаграммы этих колебаний.

Тело совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Проанализируем, как зависит амплитуда от разности фаз:

1)

Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

2)

Амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

42. Биения

Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте, тогда в результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Биения – это периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Учтём, что , тогда

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по закону

Частота биений равна разности частот складываемых колебаний.