3 Билет: обратная функция.Область определения. Множество значения

Обратная функция - Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов.

4 Билет: степенная функция , показательная и логарифная функция. Их свойства и графики

Степенная функция, функция f (x) = х^а, где а — фиксированное число.

Показательная функция, функция, где y=a^x где, a>0 и a неравно 0.

Логарифмическая функция, функция, обратная к показательной функции. y = lnx; y = log_aX.

Свойства:

степенная

1)Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду, где она определена.

2)В интервале функция монотонно возрастает при a > 0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны.

3) Производная функции: ,

4) Если , то ,

5)

показательная

1),

2),

3),

4).

логарифмическая

1)

2)

3) Логарифм произведения:

5 Билет: тригонометрические функции из свойства и графики.

6 Билет: последовательности. Способы задания. Понятия о пределе последовательности.

Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.Число a называется пределом последовательност и {x_n} если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε, т. е. При этом пишут, что или при n → ∞.

I. Задается формула или правило вычисления -го члена последовательности по значению .

II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с -го, выражен через К предыдущих, то нужно, кроме того, задать К первых членов последовательности.

7 Билет: предел функции. Свойства пределов. Непрерывность функции.

Предел - Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

1)Если $ lim_{x ® af(x)} = A , то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.

2)Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то lim_{x ® af}(x) = A

3) Если lim_{x ® af}(x) = A₁ и lim_{x ® af}(x) = A₂, то A₁ = A₂

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

Непрерывность- Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim_{D x® 0}D y = 0, где D y = f(a+D x)-f(a).

8 Билет: понятие производной. Ее физические и геометрические свойства

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть L – некоторая кривая, M₀– точка на кривой L .

Любая прямая, пересекающая L не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой L в точке M₀ называется предельное положение секущей, если точка стремится к, двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная