1. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающего колебания. Выражение для смещения. Коэффициент затухания. Логарифмический коэффициент затухания.

Колебаниями называются процессы, повторяющиеся через определенные промежутки времени. Наиболее простой формой колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса. Кроме

возвращающей силы, действуют силы сопротивления среды, что приводит со временем к уменьшению амплитуды колебаний, такие колебания называются

затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

-kx=m*(d²x\dt²)

Решение уравнения имеет вид: x=А₀e^-βtcos( ώt+φ_o)

Амплитуда затухающих колебаний: А=A_0e^-βt

Коэффициентом затухания- величина, обратная времени, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.Чем выше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда.

На практике, степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания, величина, равная натуральному логарифму отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период: λ=lnA(t)/ A(T+t)  =lne^βt

Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны простой зависимостью: λ=βT

2. Вынужденные колебания. Автоколебания.

Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы. Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д. Сила, вызывающая вынужденные колебания- вынуждающей (возмущающей) силой.

Если внешняя вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону F = F₀cosώt  , то в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой внешней вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний.

Резонанс. Явление, при котором частота вынуждающей силы равна собственной частоте тела.

Автоколебания – незатухающие колебания, совершенные системой за счет ее внутренней энергии. Системы – автоколебательными. Автоколебания не определяются внешними воздействиями. Автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами: 1) собственно колебательная система, 2) источник энергии, 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.

3.Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Сложное колебание и его гармонический спектр. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

При сложении 2-х гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных по одной прямой получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого в зависимости от разности фаз колебаний имеет значение, лежащее в интервале от суммы до разности амлитуд складываемых колебаний. Когда частоты слагаемых колебаний неодинаковы, то они уже не являются гармоническими.

При сложении двух колебании одинаковой амплитуды, но с незначительно различающимися частотами возникают биения.

При сложении взаимно-перпендикулярных колебаний результирующее смещение находится путем геометрического (векторного) сложения смещений в каждом из этих колебаний в одинаковые моменты времени. Если соединить линией результирующие смещения в различные моменты времени, то получиться траектория результирующих колебаний в плоскости –X, Y – фигура Лиссажу.

Таким образом, тело, участвующее одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях с различными частотами, движется равномерно по сложным фигурам, форма которых зависит от соотношения частот амплитуд и разности фаз складываемых колебаний.

Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может рассматриваться как результат сложения простых гармонических колебаний с частотами, кратными частоте сложного колебания. Совокупность простых колебаний, на которое разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.