- •8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- •9.Собственные значения и собственные вектора линейных операторов:
- •10. Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
- •11.Квадратичные формы. Определение. Примеры.
- •12. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
- •13. Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей 2-го порядка:
- •14.Каноническое уравнение кривых и поверхностей II порядка (см.Реферат)
- •15.Дифференцильные уравнения (основные понятия, примеры)
- •16.Ду I порядка. Задача Коши.
- •17.Уравнение, с разделяющимися переменными.
- •18. Однородные уравнения I порядка.
- •19.Линейные уравнения первого порядка.
- •24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
- •26. Метод вариаций произвольных постоянных.
- •27. Линейные ду высших порядков
- •28.Вронскиан, его свойства.
- •29.Преобразования Лапласа.
- •30.Свойства преобразований Лапласа
- •35.Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.
24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида - линейное ДУ с постоянными коэффициентами.
Если , то уравнение однородное.
Решение этого уравнения ищем в виде , где k=const.
- характеристическое уравнение
1)>0 - 2 действ., разл. корня.
2) =0 ==
3) <0 ,
25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
(1)
Общим решением неоднородных уравнений вида (1) = сумме общих решений, соотв. однородным уравнениям и частных решений неоднородных уравнений.
, где - общее решение , z(x)- частное решение (1).
Метод неопределенных коэффициентов:
1), ,
Если m- корень характ уравнения, то
2) ,
, находим А и В
3)
4)
Если -корень хар уравнения, след.
Если и -корни (кратности 2), то
5) , где - 1 вид, -2 вид., след.
26. Метод вариаций произвольных постоянных.
(1)
1) z ищем методом вариаций.
, где и - произвольные постоянные
2) Пусть и , то есть это функции, которые подберем так, чтобы было решением уравнения (1)
(2)
Подберем и так, чтобы сумма , тогда:
Так как z- решение (1), то подставим это в уравнение (1)
(3)
Систему (**) относительно 2-х неизвестных и решаем по Крамеру:
27. Линейные ду высших порядков
ДУ n-ого порядка называется уравнение вида
Для определен.решенения необходимо задать n постоянных
С пост.коэф.:
1)однородное уравнения
- характеристическое уравнение.
- корни характеристического уравнения.
Если все корни – различные действительные числа
Каждой паре комплексных сопр.корней будет соответствовать
2)
S- кратность корня
28.Вронскиан, его свойства.
Средством изучения линейной зависимости систем функций является так называемый определитель Вронского.
Для 2-х дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид
Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно =0.
Если функции и линейно независимые решения на интервале (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в ноль.
29.Преобразования Лапласа.
Пусть f(x) – функция действительной переменной t, назовем ее оригиналом, если она обладает следующими свойствами:
1. f(t)0, при t<0
2. f(t) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода и точки устранимого разрыва на любом конечном интервале.
3. существует такое M>0 и S00, что для всех t0 , S0- показатель роста f(t).
Прим: функция Хевисайта (единичная функция)
Пусть f(t) – произвольная функция, являющаяся оригиналом, и p=a+bi – комплексное число такое, что Re p S0.
Преобразованием Лапласа называется выражение
F(p) – изображение f(t)
Всякому оригиналу соответствует изображение
Любой линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их изображений
k=1,2,…n
30.Свойства преобразований Лапласа
1.Линейность. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображения., , C1 и C2 – const.
2.Подобие. Если, то , то есть умножаем аргумент оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
3.Смещение (затухание). Если , a-const, то , т.е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной p.
4. Запаздывание. Если , , то , то есть запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению оригина без запаздывания на .
5. Дифференцирование оригинала.
6. Дифференцирование изображения.
7.Интегрирование оригинала.
8.Интегрирование изображения.
9.Умножение изображений.
10.Умножение оригиналов.
31.преобразование Лапласа элементарных функций.
1. f (t) Найти изображение процесса начавшегося t=t0 и закончившегося t=t1.
2.Найти изображение функции f(t), имеющей разное аналитическое задание на различных участках вещественной оси.
Удобно представить единичный импульс [t0;t1] следующим образом:
,
Пример:
32. Свертка. Свойства свертки.
, - оригиналы.
Сверткой и называется интеграл *=
Свойства свертки:
1. - оригинал
2. =
3. ()=()
4. (+)=+
33.Применение преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений.
ДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
- оригиналы.
ДУ с постоянными коэффициентами n-ого порядка.
, где - числа; - оригиналы.
…
если
34.Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
- функция, непрерывная на интервале (a;b), называется коэффициентом, система называется линейной однородной системой ДУ I порядка.
- вектор
- краткая запись системы (*)
Решением данной системы называется совокупность функций - непрерывных на интервале (a;b), удовлетворяющих условию (*) и образующих каждое уравнение системы (*) в тождество.
Задача Коши для системы (*) – это задача для нахождения решений этой системы, удовлетворяющих начальным условиям. Пусть система (*) имеет решения ; - общее решение. Система решений называется линейно независимой на интервале (a;b), если из равенства =0
Чтобы найти общее решение системы (*), надо найти и линейно независимое решение системы, тогда
Общее решение линейной неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами
, где - числа
Однородная система ДУ имеет решение, если =0 ()
характеристическое уравнение
- собственные числа. Многочлен имеет n корней
1. если все корни характеристического уравнения различны, то:
2. если имеет кратность m, то , где - полином степени (m-1)
Пример:
=0
ответ: