20. Моделирование процесса отказов банкоматов в операционном зале

В операционном зале банка находится 2 банкомата В₁ и В₂ для проведения операций с пластиковыми карточками. Каждый из банкоматов независимо может выходить из строя. Пусть поток отказов В₁ пуассоновский 𝜆₁=4 отказа в квартал, В₂ – пуассоновский, 𝜆₂=3 отказа в квартал.

Поток восстановлений банкоматов В₁ – пуассоновский, с интенсивностью μ₁=5 восстановлений в квартал, банкомата В₂ – пуассоновский, с интенсивностью μ₂=2 восстановления в квартал. Найти вероятности состояний во втором квартале (t=2), если в начале года (t=0) В₁ – работал исправно, В₂ – находился в ремонте.

Модель:

Пусть S₁₁ – состояние, что оба банкомата исправны, S₁₂ – В₁ – исправен, В₂ – ремонтируется, S₂₁ – В₁ ремонтируется, В₂ – исправен, S₂₂ – оба банкомата ремонтируются. Построим размеченный граф состояний системы S.

Потоки отказов и ремонтов пуассоновские с постоянной интенсивностью и являются простейшими. Матрица плотностей вероятностей перехода:

При этом пренебрегаем переходами: S₁₁ S₂₂, S₂₂ S₁₁, S₂₁ S₁₂, S₁₂ S_21.

Потоки отказов и ремонтов пуассоновские, процесс в системе S является марковским, с дискретными состояниями и непрерывным временем. Система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

Система представляет собой систему ЛДУ. Её решение при начальном состоянии системы: t=0, Р₁₁(0)=0, Р₁₂(0)=1, Р₂₁(0)=0, Р₂₂(0)=0 и условии нормировки Р₁₁(t)+ Р₁₂(t)+ Р₂₁(t)+ Р₂₂(t)=1 при t=2 будет:

Р₁₁(2)=0,223; Р₁₂(2)=0,332; Р₂₁(2)=0,178; Р₂₂(2)=0,267.

Наиболее вероятное состояние системы S, Р₁₂(2)=0,332.

21. Понятие сетевого проекта, работы и события

Проектом называется совокупность операций, выполнение которых необходимо для достижения некоторой цели, причём длительность выполнения каждой из операций известна и они связаны отношением порядка (обязательным предшествованием).

Такой проект всегда может быть представлен некоторой сетью. Вершины сетевого графика соответствуют событиям, которые должны произойти по мере выполнения проекта, а стрелками обозначаются операции или работы, которые должны быть выполнены для наступления того или иного события. Над стрелками в скобках указываются продолжительности выполнения соответствующих работ, измеряемые различными единицами (часы, сутки, недели и т.д.) в зависимости от смыслового содержания проекта.

Событие 1 – всегда «начало выполнения проекта». Последнее событие – его окончание. От первого события к последнему чаще всего можно пройти различными путями. Самый длинный путь в сетевом графике определит кротчайшие сроки выполнения всего проекта, если работы будут выполняться без сбоев.

Критическим путём сетевого графика называется самый длинный путь. Таким образом критический путь представляет те операции, на ход выполнения которых руководитель проекта должен обратить все своё внимание, т.к. от их своевременного выполнения зависит общий срок выполнения проекта.

Работы и события, не лежащие на критическом пути, в связи с тем, что они лежат на более коротких путях, могут выполнятся без угрозы срыва общего срока выполнения проекта с некоторым опозданием.

Для расчёта времени выполнения проекта и соответственно определения критического пути необходимо, двигаясь по графику, рассчитать сроки наступления событий.

Ранний срок наступления j –го события t^p_j - наиболее ранний (минимальный) из возможных моментов наступления данного события при заданной продолжительности работ.

Поздний срок наступления j –го события tⁿ_j - наиболее поздний (максимальный) из допустимых моментов наступления данного события, при котором ещё возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок. Поздний срок наступления событий рассчитывается при движении по сетевому графику в обратном порядке – от конца к началу.

Ранний срок начала (i, j) работы t^PH_ij - наиболее ранний (минимальный) из возможных моментов начала данной работы при заданной продолжительности работ.

Он совпадает с ранним сроком наступления ее начального события t^PH_ij = t^P_i.

Ранний срок окончания (i, j) работы t^PO_ij - наиболее ранний (минимальный) из возможных моментов окончания данной работы при заданной продолжительности работ. Он превышает ранний срок наступления её события i на величину продолжительности работы: t^PO_ij = t^P_i+ t_ij.

Поздний срок начала (i, j) работы t^ПН_ij= tⁿ_j - t_ij - наиболее поздний (максимальный) из допустимых моментов начала данной работы, при котором ещё возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок.

Поздний срок окончания (i, j) работы t^ПO_ij= tⁿ_j – наиболее поздний (максимальный) из допустимых моментов окончания данной работы, при котором ещё возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок.