16. Основные понятия пуассоновского стационарного потока

Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим в какие-то, в общем, случайные моменты времени.

События в потоке называются однородными, если их различают только по моментам их наступления, в ином случае события в потоке называются неоднородными.

Потоки однородных событий графически можно представить в виде точек на временной оси, где t₁, t₂, … соответствуют моментам времени наступления событий.

Поток событий называется регулярным, если события в нём наступают последователльно, через заранее строго определённые промежутки времени.

Поток событий называется потоком без последствия (потоком без памяти), если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий наступающих за один из них не зависят от числа событий наступающих за другой промежуток, т.е. последовательные события в потоке наступают независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если вероятностью наступления за малый промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления не более одного события.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного события за какой-либо промежуток времени зависит только от длины промежутка времени и не зависит от момента его начала, т.е. в стационарном потоке вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий, обладающий свойством отсутствия последствий и ординарности, называется пуассоновским. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.

Среднее число событий потока, наступающих в единицу времени, называется интенсивностью или средней плотностью потока.

Интенсивность потока обозначается in П. Интенсивность простейшего потока in П=𝜆=const. Интенсивность нестационарного пуассоновского потока in П=𝜆(t).

Несколько потоков называются сравнимыми по интенсивности, если интенсивность ни одного из них не превосходит суммы интенсивности остальных.

Сравнимые по интенсивности потоки обладают свойством, которое состоит в том, что суммарный поток, образованный наложением достаточно большого числа потоков можно считать простейшим, т.е. обладающим свойством стационарности, ординарности, отсутствия последствия.

17. Основные хар-ки пуассон. Стационарного потока

Пусть задан простейший поток с интенсивностью 𝜆=const. Характеристика потока – дискретная случайная величина Х(τ) может принимать значения m=1,2,… Пусть Pm(τ) – вероятность того, что за промежуток времени τ в потоке наступит ровно m событий.

Теорема 1. В простейшем потоке с интенсивностью 𝜆 случайное число событий Х(τ), наступающих за промежуток времени τ, распределено по закону Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия равны: М[Х(τ)]=D[Х(τ)]=𝜆τ

Следствие. Для простейшего потока с интенсивностью 𝜆 справедливы утверждения:

1.Вероятность того, что за промежуток времени не наступит ни одного события Х(τ)=0, Р(Х(τ)=0) = е ^–𝜆τ

2.Вероятность того, что за промежуток времени τ наступит менее k (k=1,2,…) событий Х(τ)<k. Р(Х(τ)<k)= е ^–𝜆τ *

3. Вероятность того, что за промежуток времени τ наступит не менее k событий Х(τ)k. Р(Х(τ)1)= 1 - е ^–𝜆τ *

4. Вероятность того, что за промежуток времени τ наступит хотя бы одно событие Р(Х(τ)1)=1 - е ^–𝜆τ

5. Интенсивность потока 𝜆 равна математическому ожиданию М[X(1)] случайной величины Х(1).

Элементом вероятности появления события в простейшем потоке называется вероятность Р₁ (Δt) появления события за элементарный промежуток времени Δt.

Теорема 2. Для элемента вероятности появления события справедлива приближённая формула: Р₁ (Δt) 𝜆* Δt, Δt0.

Характеристикой простейшего потока является также непрерывная случайная величина Т – промежуток времени между любыми соседними событиями потока.

Теорема 4. В простейшем потоке с интенсивностью 𝜆 для случайной величины Т справедливы утверждения:

1)Интегральная функция распределения F(t) = P(T<t) t0, или вероятность того, что между двумя соседними событиями промежуток времени Т будет меньше t, равна F(t) =1 - е ^–𝜆τ, t0.

2)дифференциальная функция распределения (плотность распределения f(t) = F’(t)= 𝜆 *е ^–𝜆τ

3)мат.ожидание Т = М[T]=𝜆^-1

4)дисперсия D(T) = 𝜆^-2

5)среднее квадратичное отклонение σ(т) = 𝜆^-1

Следствие: Вероятность P(Tt) того, что промежуток времени Т между двумя любыми соседними событиями в простейшем потоке будет не меньше t определяется по формуле: P(Tt)= е ^–𝜆τ, ) t0.

Закон распределения с плотностью вероятности определяемой f(t) = F’(t)= 𝜆 *е ^–𝜆τ называется показательным или экспоненциальным, 𝜆 – параметр этого закона.