- •16. Основные понятия пуассоновского стационарного потока
- •17. Основные хар-ки пуассон. Стационарного потока
- •18. Моделирование процесса страхования автомобилей
- •19. Связь между дискретным марковским процессом с непрерывным временем и пуассоновским потоком
- •20. Моделирование процесса отказов банкоматов в операционном зале
- •21. Понятие сетевого проекта, работы и события
- •22. Резервы работ и событий сетевого проекта
- •23. Оптимизация сетевого проекта
- •24. Потоки в сетях и принцип их сохранения. Теорема Форда-Фалкерсона.
- •25. Построение максимального потока
- •30. Принципиальные системы регулирования товарных запасов. Саморегулирующиеся системы.
- •31. Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий
- •26. Метод ветвей и границ
- •27. Классическая задача управления запасами
- •28. Принципиальные системы регулирования товарных запасов. Система с фиксированным размером заказа. Система с фиксированной периодичностью заказа
18. Моделирование процесса страхования автомобилей
Некоторая страховая компания выполняет операции, связанные со страхованием автомобилей. Для оценки текущего фонда компании необходимо иметь информацию о возможных выплатах по страховым полисам.
Наблюдения в предшествующий период показали, что число требований по выплатам за любой промежуток времени τ не зависит от момента времени, а зависит только от продолжительности, в любые два непересекающиеся интервала требования поступают независимо, в достаточно малый промежуток времени поступает не более одного требования. Ожидаемое число требований, поступающих в компанию за неделю равно 2.
Поток требований стационарный, обладает свойством отсутствия последствия, ординарный, и поэтому является стационарным пуассоновским или простейшим. Единица времени неделя. Интенсивность потока 𝜆=2 (два в неделю).
Пусть Х(τ) – число требований, поступающих в компанию за τ недель, Т – промежуток времени между любыми двумя требованиями по выплатам.
Тогда решение задачи сводиться к следующей модели:
1)Если τ=1 месяц=4 недели и m=7, тогда:
-Вероятность Р7(4) вычисляется по закону распределения Пуассона:
Р7(4)=
-Вероятность Р (Х(4)<7) = ;
-Вероятность Р (Х(4)7) поступления не менее 7 требований по выплатам за месяц равна Р(Х(4)7)=1 - Р (Х(4)<7) = 1- 0,321 0,679.
2)Если τ=1 неделя. Вероятность не поступления в компанию ни одного требования за неделю Р0(1) = .
3)Если τ=2 недели, то:
-Вероятность поступления за 2 недели хотя бы одного требования Р (Х(2)1)=
-Вероятность Р интервал Т меньше 2 дней Р
-Вер-ть Р(Т)Р =
19. Связь между дискретным марковским процессом с непрерывным временем и пуассоновским потоком
Пуассоновские потоки событий и дискретные марковские процессы с непрерывным временем между собой связаны. Рассмотрим связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Пусть S система с дискретными состояниями s1, s2,…, sn, в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем. В момент времени t0 система находится в состоянии si и под воздействием некоторого пуассоновского потока событий Пij интенсивности t) может перейти в другое состояние Sj(i.
Процесс перехода системы S в состояние Sj происходит в момент времени t как только наступит первое событие потока Пij.
Теорема.
Плотность вероятностей перехода 𝜆ij(t) системы S из состояния Si в состояние Sj в момент времени t под воздействием пуассоновского потока Пij равна интенсивности этого потока: 𝜆ij(t)= 𝜆(t).
Для того, чтобы случайный процесс с непрерывным временем протекающий в системе с дискретными состояниями был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое были пуассоновскими (стационарными или нестационарными).
Системы, в которых протекают дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, называются пуассоновскими системами.
Исследования пуассоновских систем необходимо проводить следующим образом:
1.Дать описание каждого возможного состояния системы.
2. Составить граф состояний системы, указав возможные непосредственные переходы системы из состояния в состояние.
3. На размеченном графе состояний указать интенсивности 𝜆ij(t) потока событий Пij под воздействием которого происходит данный период.
4. Задать начальные состояния системы в момент времени t=0.