- •Курсовая работа
- •Обыкновенных дифференциальных уравнений и теории колебаний”
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •1. Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестностях каждой особой точки.
- •2. Найти первый интеграл. Изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости .
- •3. Исследовать при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения.
- •4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева
- •5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы
- •6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы.
- •7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения дифференциального уравнения
- •Периодическое решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде
- •Список литературы:
3. Исследовать при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения.
Решение.
Мы имеем стандартный полином с коэффициентами
, , , , .
Составим для полинома матрицу Гурвица, и применим критерий Льенара-Шипара:
Следовательно, система асимптотически устойчива при .
Проверим результат в пакете Maple:
>
>
>
>
>
>
>
4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева
Решение.
Функцию Ляпунова будем искать в виде
Тогда,
Положим, . Функция Ляпунова и ее производная в силу системы будут иметь вид:
Зададим множество
Теорема 4 (теорема Четаева). Пусть – положение равновесия системы . Пусть - непрерывно дифференцируемая функция, такая что и для некоторой точки , такой что - произвольно малая величина. Определим множество , и предположим что в . Тогда, - неустойчивое положение равновесия системы.
Очевидно, что на множестве (и везде на плоскости) производная в силу системы принимает положительные значения. Положение равновесия неустойчиво по теореме Четаева.
Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 4.1)
> restart: with(DEtools):
> eq1:=(diff(x(t),t)=(x(t)^5)+(y(t)^3));
> eq2:=(diff(y(t),t)=(x(t)^3)-(y(t)^5));
> DEplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..50,[[x(0)=0.35, y(0)=-0.39],[x(0)=-0.4, y(0)=0.35], [x(0)=-0.4, y(0)=0.45],[x(0)=0.4, y(0)=-0.4]],x=-0.5..0.5, y=-0.5..0.5, linecolor=sin(t), stepsize=0.01);
Рис. 4.1 Фазовый портрет системы
5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы
Решение.
Составим якобиан системы:
Теорема 5 (о неустойчивости по первому приближению). Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если хотя бы одно собственное значение матрицы Якоби имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.
Найдем собственные значения матрицы :
Полином не является гурвицевым:
Мы имеем один положительное собственное значение, следовательно тривиальное решение системы неустойчиво по Ляпунову.
Проверим наш результат в пакете Maple (Рис. 5.1)
>
>
Рис. 5.1 Численное интегрирование системы
6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы.
Решение.
Сначала, покажем что у системы существует единственное (неустойчивое) состояние равновесия.
Построим якобиан системы:
;
;
Найдем собственные значения :
,
,
Оба собственных значения якобиана положительны, особая точка неустойчива.
Рассмотрим функцию
Ее производная в силу системы имеет вид:
;
Значения производной в силу системы меняются при пересечении эллипса
(6.1) |
Однако, мы не можем использовать эллипсы для доказательства существования «кольца». Рассмотрим 2 окружности, , которая не пересекает эллипс (6.1) и лежит внутри него, и окружность , которая так же не пересекает заданный эллипс, и внутри которой он располагается (Рис. 6.1)
>
-
Рис. 6.1 Эллипс (1), при пересечении которого производная в силу системы меняет знак (красный), окружность (фиолетовая), окружность , (синяя).
На окружности производная в силу системы принимает положительные значения, на - отрицательные, то есть траектории системы пересекают первую окружность в направлении «от центра», и вторую окружность по направлению «к центру».
На каждой окружности возьмем точки, лежащие близко к оси абсцисс и проверим поведение траекторий. Расчеты будем производить при помощи пакета Maple:
>
Действительно, по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных, траектории будут в дальнейшем вести себя подобным образом.
Мы можем заявить о существовании цикла у системы.
Лемма 6. Если внутри положительно (отрицательно) инвариантной для траекторий системы области нет состояний равновесия системы, то в этой области содержится по крайней мере один цикл системы.
Мы доказали, что у системы существует положительно инвариантная область, в которой нет решений системы. По лемме 6, у системы есть цикл.
Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 6.2).
>
>
Рис. 6.2 Численное интегрирование системы