Задание 13. Используя дифференциальные уравнения, решить следующие задачи.

0. Найти семейство функций, таких, что абсцисса точки пересечения касательной к графику каждой из них (в произвольной точке области определения функции) с осью абсцисс равна удвоенной абсциссе точки касания.

Решение варианта 0.

Выберем произвольную функцию искомого семейства и обозначим ее аргумент буквой x, а саму функцию y(x). Пусть (x₀,y₀) – произвольная точка графика этой функции. Уравнение касательной к графику функции в указанной точке будет иметь вид: y – y₀ =k(x – x₀), где k = (x₀). Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс. Для этого положим в уравнении касательной y = 0 и найдем значение переменной x из полученного уравнения. Легко видеть, что x = . По условию задачи имеем x = 2x₀, и поэтому 2x₀ = , или kx₀ = = – y₀. Опуская в этом уравнении индекс нуль и заменяя величину k ее значением, получим дифференциальное уравнение искомого семейства функций: x= – y. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:, откуда интегрированием находим, что lny = – lnx + lnC. Значит, искомое семейство функций .

1. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

2. Найти кривую, проходящую через точку (0,2), касательные к которой отсекают от оси абсцисс отрезки в два раза большие ординаты точки касания.

3. Найти линии, у которых расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.

4. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

5. Угловой коэффициент касательной к кривой равен ординате точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,3).

6. Найти линию, проходящую через точку (1,0) и обладающую тем свойством, что ордината точки пересечения касательной с осью ординат равна удвоенной сумме координат точки касания.

7. Найти кривые, для которых площадь треугольника образованного касательной, прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно оси абсцисс и осью абсцисс, есть величина постоянная.

8. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке кривой, заключенной между осями координат, делится пополам в этой точке.

9. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

10. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу вдвое меньше абсциссы точки касания.

11. Определить и построить кривую, проходящую через точку (–2,2), если отрезок AB любой касательной к ней, заключенной между осями координат, делится точкой касания пополам.

12. Определить кривую, проходящую через точку (–1,1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

13. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4,3) и обладающую тем свойством, что длина отрезка нормали от точки кривой до точки пересечения с осью ординат равна 5.

14. Найти линию, проходящую через точку (–1,–1), для которой отрезок, отсекаемый касательной к кривой в любой ее точке на оси абсцисс, равен квадрату точки касания.

15. Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.

16. Найти линию, проходящую через точку (0,2), для которой угловой коэффициент касательной в каждой точке линии равен сумме абсциссы и ординаты точки касания.

17. Найти линию, проходящую через точку (2,0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум.

18. Найти линию, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, равна a².

19. Тело движется со скоростью v, пропорциональной квадрату времени. Установить зависимость между пройденным путем s и временем t, если известно, что при t=0, s=s₀.

20. Найти линию, проходящую через точку (3,4), у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

21. Определить путь s, пройденный телом за время t, если известно, что скорость в каждый момент времени пропорциональна пройденному пути. Тело проходит 30 м за 1 мин., а 90 м — за 2 мин.

22. За какое время тело, нагретое до 100⁰, охладится до 25⁰, в комнате с t=20⁰, если до 60⁰ оно охлаждается за 10 мин? (По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой среды).

23. Найти линию, проходящую через точку (1,–2), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

24. Тело движется по прямой так, что его скорость в каждый момент времени равна корню квадратному из пути, пройденному телом к этому моменту. Найти путь, пройденный телом до момента 10с, если до начала отсчета оно прошло путь 1 м.

25. Найти линию, проходящую через точку (1,1), для которой угловой коэффициент касательной в каждой точке линии обратно пропорционален корню квадратному из ординаты точки касания.

43