- •Белорусский государственный университет
- •Задание 1. Вычислить указанные неопределенные интегралы.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 2. Вычислить следующие определенные интегралы:
- •Решение варианта 0.
- •Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
- •Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:
- •§ 2. Функции нескольких переменных Перечень вопросов по теме
- •Задание 5. Вычислить частные производные первого и второго порядков указанных функций.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 6. Найти локальные экстремумы (первая функция) и условные экстремумы в указанной области (вторая функция).
- •§ 3. Ряды Перечень вопросов по теме
- •Задание 7. Исследовать ряды на сходимость.
- •Задание 8. Определить область сходимости степенных рядов.
- •§ 4. Дифференциальные уравнения Перечень вопросов по теме
- •Задание 9. Решить следующие дифференциальные уравнения первого порядка. Если даны частные условия, найти частные решения.
- •Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.
- •Задание 12. Решить следующие однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение варианта 0.
- •Задание 13. Используя дифференциальные уравнения, решить следующие задачи.
Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
0. – ytgx = 2tgx.
Решение варианта 0.
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать общее решение уравнения в виде y(x) = u(x)v(x), где u(x) и v(x) – подлежащие определению пока неизвестные функции. Подставляя это выражение в уравнение, получим ,или .Выберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Имеем:
, ,,
(Из всей совокупности решений этого уравнения выбрано в качестве функции v одно конкретное). Далее получаем: ,,откуда u = – 2cosx + C. Таким образом, общее решение имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.
0. 2y += 0.
Решение варианта 0.
Полагая
= p, ,
получаем уравнение с разделяющимися переменными 2yp3 + = 0, откуда
2yp2 + = 0, = –2ydy, =y2 + C1, p = .
Следовательно,
, (y2 + C1)dy = dx.
Интегрируя последнее равенство, находим
, .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 12. Решить следующие однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
|
–8 + 25y = 0; |
|
–7 + 12y = – 48sin3x. |
Решение варианта 0.
Пример 0.1. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни: , поэтому общее решение имеет вид: y = (C1 cos3x + C2 sin3x).
Пример 0.2. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения – 7 + 12y =0.. Характеристическое уравнение – –+ 12 = 0 имеет различные действительные корни:, поэтому общее решение однородного уравнения определяется формулой. Частное исходного уравнения будем искать в видеy1 = Acos3x + Bsin3x. Подставим y1, = –3Asin3x + 3Bcos3x, = = –9Acos3x – 9Bsin3x в уравнение и получим:
–9Acos3x – 9Bsin3x – 7(–3Asin3x + 3Bcos3x) +
+12(Acos3x + Bsin3x) = – 48sin3x,
или
(3A – 21B)cos3x + (21A + 3B)sin3x = – 48sin3x.
Последнее равенство должно выполнятся для всех x, и это возможно, когда 3A – 21B = 0, 21A + 3B = –48, A = –,B = . Следовательно,y1 = –cos3x + sin3x. Искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид: y = –(7cos3x + sin3x).
|
|
––y = 0; |
|
–5 + 6y = x2 – x. |
|
|
–2 + y = 0; |
|
+ + y = 3sin2x. |
|
|
+ 3 – 8y = 0; |
|
–= x + 1. |
|
|
–4 + 5y = 0; |
|
+ 3 + 2y = 5e5x. |
|
|
–2 + 5y = 0; |
|
+ – 2y = cosx – 3sinx. |
|
|
4+ 4 + y = 0; |
|
–2 + 10y = 10x2 + 8x +6. |
|
|
9– – 2y = 0; |
|
–6 + 25y = 3cosx + 2sinx. |
|
|
+ 3= 0; |
|
–5= sin5x. |
|
|
–+ 6y = 0; |
|
+ 2 + y = cosx + sinx. |
|
|
–5 + 6y = 0; |
|
–7 + 12y = e3x. |
|
|
+ 2 + y = 0; |
|
+ 2 + y = 4x2 – 3x – 5. |
|
|
–8 + 12y = 0; |
|
+ y = – sin2x. |
|
|
+ – 6y = 0; |
|
––2y = 4e3x. |
|
|
–6 + 9y = 0; |
|
+ 2 = 4x3 – 2x. |
|
|
+ 4= 0; |
|
+ 4 + 4y = 3cos2x+ 2sin2x. |
|
|
–3 + 2y = 0; |
|
–4 + 4y = e2x. |
|
|
9+ y = 0; |
|
+ 2 + y = cosx + sinx. |
|
|
–y = 0; |
|
–4 + 3y = 3ex. |
|
|
2– 2 + 3y = 0; |
|
–6 + 9y = 5sinx. |
|
|
+ 7 + 6y = 0; |
|
–3 + 2y = ex. |
|
|
–2 + 19y = 0; |
|
+ 2 + 2y= 2x3 – 2. |
|
|
+ – 12y = 0; |
|
+ 4 + 5y = 5x2 – 32x + 5. |
|
|
2– 3 – 2y = 0; |
|
–2 = x2 – x. |
|
|
–4 + 7y = 0; |
|
–3 – 10y = 3cosx + sinx. |
|
|
+ 4 – 7y = 0; |
|
–4 +3y= 2x + 1. |