Биматричные игры

БИМАТРИЧНАЯ ИГРА 2×2: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВОЗМОЖНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКОВ

В

СРЕДНИЕ ВЫИГРЫШИ ИГРОКОВ. РАВНОВЕСНАЯ СИТУАЦИЯ

П

Средний выигрыш игрока равен: .

Средний выигрыш игрока равен:

Пара чисел определяетравновесную ситуацию, если

для всех .

То есть отклонение от оптимальной стратегии одного из игроков при условии, что другой придерживается своей оптимальной стратегии, уменьшает средний выигрыш отклонившегося игрока.

ТЕОРЕМА НЕША

Любая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

НАХОЖДЕНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ

Введем обозначения:с учетом которых средние выигрыши игроков запишутся в виде:.

Пусть игрок придерживается своей оптимальной стратегии . Запишем условие равновесия для среднего выигрыша игрока : . Откуда получаем систему,

решение которой дает

Аналогично, если игрок придерживается своей оптимальной стратегии, из условий равновесия для выигрыша игрока получим систему и ее решение

Изобразим обе полученные линии в координатах . Точки пересечения этих линий, лежащие в квадрате, и определяют равновесные ситуации. Для каждой равновесной ситуации определяют средние выигрыши игрокови.

ПРИМЕР

7. Решение и графическая иллюстрация биматричной игры

а). Получим систему:, решение которой дает

б). Получим систему:, решение которой дает

Совместим оба графика.

Получилась одна точка пересечения

, то есть одна равновесная ситуация .

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Позиционные игры – бескоалиционные игры, моделирующие процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся по времени и, вообще говоря, неполной информации.

Позиции – это состояния игры, альтернативы – это возможный выбор в каждой позиции.

Для наглядности в позиционных играх используют схему "дерево решений".

В позиционных играх с полной информацией игрок перед своим ходом знает ту позицию дерева игры, в которой он находится.

В позиционных играх с нгеполной информацией игрок перед своим ходом не знает точно ту позицию дерева игры, в которой он фактически находится.

Нормализация позиционной игры – это процесс сведения позиционной игры к матричной или биматричной играм.

ПРИМЕР

8. Нормализация и решение позиционной игры

Фирма контролирует рынок некоторого товара. Фирма решает, стоит ли выходить на рынок этого товара. Стратегии фирмы : выходить (), не выходить (). В свою очередь фирма решает, стоит ли снижать объем производства этого товара. Стратегии фирмы : сохранить объем производства (), сократить объем производства (). Изобразим дерево игры и выигрыши игроков.

Матрицы биматричной игры запишутся в виде:

а). Получим систему:,

решение которой дает

б). Получим систему:,

решение которой дает

Совместим оба графика.

Получилась три точки пересечения, то есть три равновесных ситуации:

1) ,(фирма сокращает объем производства, фирмавыходит на рынок)

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

2) ,(фирма сохраняет объем производства, фирмане выходит на рынок)

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

2) ,(фирма с вероятностью 10/13 сохраняет объем производства, фирмаc вероятностью 4/5 выходит на рынок )

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Позиционные игры – бескоалиционные игры, моделирующие процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся по времени и, вообще говоря, неполной информации.

Позиции – это состояния игры, альтернативы – это возможный выбор в каждой позиции.

Для наглядности в позиционных играх используют схему "дерево решений".

В позиционных играх с полной информацией игрок перед своим ходом знает ту позицию дерева игры, в которой он находится.

В позиционных играх с нгеполной информацией игрок перед своим ходом не знает точно ту позицию дерева игры, в которой он фактически находится.

Нормализация позиционной игры – это процесс сведения позиционной игры к матричной или биматричной играм.

ПРИМЕР

8. Нормализация и решение позиционной игры

Фирма контролирует рынок некоторого товара. Фирма решает, стоит ли выходить на рынок этого товара. Стратегии фирмы : выходить (), не выходить (). В свою очередь фирма решает, стоит ли снижать объем производства этого товара. Стратегии фирмы : сохранить объем производства (), сократить объем производства (). Изобразим дерево игры и выигрыши игроков.

Матрицы биматричной игры запишутся в виде:

а). Получим систему:,

решение которой дает

б). Получим систему:,

решение которой дает

Совместим оба графика.

Получилась три точки пересечения, то есть три равновесных ситуации:

1) ,(фирма сокращает объем производства, фирмавыходит на рынок)

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

2) ,(фирма сохраняет объем производства, фирмане выходит на рынок)

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен:

2) ,(фирма с вероятностью 10/13 сохраняет объем производства, фирмаc вероятностью 4/5 выходит на рынок )

Средний выигрыш игрока равен:

Средний выигрыш игрока равен: