1.2. Операції з множинами

Рівність множин. Множини А и В рівні тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини А є елементом множини У, і навпаки, кожний елемент множини У є елементом множини А, тобто

А  В и В  А

Рівність множин А і В показана за допомогою діаграми Ейлера - Вена (рис.1.2).

S

s

Рис.1.2. Рівність множин

Об'єднання множин. Об'єднанням або сумою двох множин А и В називається множина, що складається з усіх елементів, кожний із який належить хоча б одному з даних множин (рис.1.3).

Виконуються закони:

S 1)Асоціативний.

(АУ)С=А(УС)=АУС.

А 2) Комутативний.

АУ=УА; АА=А;

Рис.1.3. Об'єднання множин А=А;

АS=S; АУ=А якщо У  А.

Перетинання множин. Перетинанням або добутком двох множин називається множина, що складаються із усіх тих елементів, що належать обом множинам (рис 1.4). Справедливий комутативний і асоціативний закон. Зокрема:

S

А А(УС)=(АУ)(АС).

У

Рис.1.4. Перетинання множин

Дві множини А и В є взаємовиключними, або несумісними, якщо АУ=.

Доповнення множин. Доповнення множини А називається множина, у якій містяться всі елементи простору S, крім тих, що належать множині А. Воно позначається через А (рис.1.5).

Справедливими будут такі

вырази

=

А А =S; S=; (A)=A; AA=S;

A A=;

Рис.1.5. Доповнення множин A B при ВА;

A =B если А=В.

Крім того, справедливі закони де Моргана:

(АУ)=А У; (АУ)=А В.

Різниця множин. Різниця А-В множин А и В є множина, що складаються з елементів множини А, що не належать множині В ( рис.1.6).

A - B=A \ B=A B=A - (AB).

A S (читаємо “A без B”)

А-В

У

В-А

Рис.1.6. Різниця множин

З останньої діаграми виведені такі співвідношення:

А -  = А, А - S = , S - A =A.

Вираз, де є різниця, необхідно записувати зі скобками.

Описані вище операції з множинами продемонструємо прикладом. Припустимо, що елементами простору S - натуральне число від 1 до 6, тобто S={1, 2, 3, 4, 5, 6} і визначимо такі підмножини:

А={2, 4, 6}; B={1, 2, 3, 4}; C={1, 3, 5}.

З огляду на наведені співвідношення можна записати:

(АВ)={1, 2, 3, 4, 6}, (BC)={1, 2, 3, 4, 5}

(ABC)={1, 2, 3, 4, 5, 6}=S=AC,

AB={2, 4}, BC={1, 3}, AC=,

ABC=,A={1, 3, 5}=C, B={5, 6},

C={2, 4, 6}=A, A-B={6}, B-A={1, 3},

A-C={2, 4, 6}=A, C-A={1, 2, 5}=C,

B-C={2, 4}, C-B={5}.

Для закріплення матеріалу рекомендується проілюструвати наведені вище опервції з використанням діаграм Ейлера – Вена.