Яковлев В. И. Классическая электродинамика, ч. 3. Четырёхмерная электродинамика и геометрическая оптика

Оглавление

16.7.Сила торможения излучением для заряда, движущегося в заданном

17.9.Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмой . . . 105

17.10.Преломление луча на сферической поверхности. Парак-

Глава A. Векторный анализ

A.1. Ортогональные системы координат . . . . . . . . . . . . . 140 A.2. О разложении векторного поля. Комментарии по век-

торной алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 A.3. Скалярное поле. Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.4. Векторное поле. Поток. Дивергенция. Теорема Остроградского-

Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 A.5. Вычисление дивергенции в ортогональных координатах . 157 A.6. Циркуляция и ротор поля. Теорема Стокса . . . . . . . . 161 A.7. Вычисление ротора в ортогональных координатах . . . . 164

Предисловие

Третья часть учебного пособия по классической электродинамике, предназначенная для студентов второго курса физического факультета НГУ, охватывает релятивистское описание электродинамики и геометрическую оптику.

Вначале здесь повторяются элементы специальной теории относительности, изучающиеся на первом курсе. Затем это повторение дополняется сведениями, относящимися к электродинамике и, в особенности, к излучению релятивистских частиц. Этот раздел содержит критический анализ физического смысла основных величин, характеризующих излучение, приведший к значительному упрощению изучаемого материала. В результате он стал доступным для полноценного освоения на втором курсе.

Глава по геометрической оптике, предназначенная для первоначального знакомства, ограничивается изложением основных принципов данного предмета и не касается трудных вопросов инструментальной оптики. Здесь дано одно простейшее точное решение уравнения эйконала, которое использовано для изучения хода лучей и демонстрации возможности использования приближения геометрической оптики для определения потока вектора Пойнтинга волнового поля в конкретной ситуации.

Вкачестве приложения в книге приведён материал по векторному анализу в объёме, необходимом для изучения электродинамики, и параграф по импульсу электромагнитного поля. Эти материалы подготовлены для внесения в предполагаемое новое издание части 1 учебного пособия.

Книга, как и две её предыдущие части, написана как пособие для первоначального изучения теоретических основ классической электродинамики. Считая, что понимание теории полезно и для экспериментальной работы, автор стремился сделать изложение по возможности доступным, следя за последовательностью и отсутствием логических пробелов в цепочках рассуждений.

Взаключение выражаю искреннюю благодарность директору ИТПМ им. С. А. Христиановича СО РАН академику В. М. Фомину и его заместителю проф. А. М. Оришичу за создание оптимальных условий для написания этой книги. Благодарю аспиранта физического факультета

Р.Галева за помощь в создании иллюстраций.

Глава 15

Специальная теория относительности и электродинамика

Здесь вначале мы вспомним основные положения специальной теории относительности, начиная с основных её постулатов, включая математический аппарат четырёхмерного пространства Минковского. Конечная цель заключается в демонстрации релятивистской инвариантности уравнений Максвелла и определении законов преобразования полей при переходах из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Покажем ковариантность выражения для силы Лоренца и выпишем ковариантную форму для уравнения движения материальной точки. Опишем релятивистский эффект Доплера как следствие инвариантности фазы волны (kr − ωt).

15.1.Постулаты Эйнштейна. Инвариантность интервала.

Преобразование Лоренца

1. Специальная теория относительности Эйнштейна основана на двух основополагающих принципах. Первый из них, часто называемый прин-

8Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамика

ципом относительности, или постулатом относительности, представляет собой утверждение, что все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Существование максимальной конечной скорости распространения возмущений (взаимодействий) в природе составляет содержание второго из названных принципов. На основании первого принципа эта максимальная скорость одинакова во всех системах отсчета; это — скорость света в вакууме.

Существование скорости, одинаковой во всех инерциальных системах отсчета, коренным образом противоречащее классическому представлению об абсолютном времени и вытекающему отсюда закону сложения скоростей, приводит к важнейшему результату об инвариантности интервала между любыми событиями и ко всем последующим фундаментальным результатам специальной теории относительности. 2. Напомним, что если x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 — координаты двух событий, то интервалом между ними называется величина

s12 = [c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2]1=2.

Если эти события наблюдать из любой другой инерциальной системы отсчета с координатами, отмечаемыми штрихом, инвариантность интервала означает равенство

c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2 =

= c2(t′2 − t′1)2 − (x′2 − x′1)2 − (y2′ − y1′ )2 − (z2′ − z1′ )2.

Для бесконечно близких событий квадрат интервала и его инвариантность сводятся к соотношениям

3. Формулы преобразования координат события x, y, z, t при переходе из одной инерциальной системы отсчета к другой, удовлетворяющие

требованию инвариантности интервала, составляют преобразование Лоренца и имеют вид

Здесь принято, что инерциальная система S′ движется относительно системы S со скоростью V вдоль общего направления осей x и x′, как

показано на рис. 15.1, причем оси y, y′ и z, z′ параллельны между собой. Часы в лабораторной (S) и подвижной (S′) системах согласованы так, что при совпадении точек O и O′ находящиеся там часы показывали t = t′ = 0. Естественно, в предельном случае V/c → 0 формулы (15.3) переходят в формулы преобразования Галилея

x = x′ + V t, y = y′, z = z′ с абсолютным временем t = t′.

Y Y’

Рис. 15.1

Упражнение. Вспомнить понятие собственного времени частицы, движущейся со скоростью v, и, воспользовавшись соотношениями (15.1), (15.2), получить для него формулу

√

dτ = dt 1 − v2/c2. (15.4)

Доказать неизменность (инвариантность) этой величины при пере-

√

ходе в штрихованную систему координат, т. е. dτ = dt′ 1 − v′ 2/c2.

15.2.Четырёхмерное пространство Минковского. Четырёхмерные тензоры

1. Как мы убедимся ниже, любой физический закон, отвечающий требованию принципа относительности, должен допускать специфическую форму записи в четырёхмерном векторном пространстве, впервые введенном Г. Минковским (пространство Минковского). Четыре координаты некоторого события ct, x, y, z определяют мировую точку в этом

10 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамика

пространстве; радиус-вектор этой точки задается компонентами xi (индекс наверху, пробегает значения 0, 1, 2, 3), причем

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z.

Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением

(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2.

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, в частности, преобразовании Лоренца. Мерой расстояния между двумя близкими точками xi и xi + dxi в пространстве Минковского является интервал, квадрат которого (15.1) равен

2. Наряду с 4-радиус-вектором xi в пространстве Минковского рассматривают произвольный 4-вектор Ai (4-тензор первого ранга) как набор

четырёх величин

A0, A1, A2, A3,

которые при преобразованиях четырёхмерной системы координат преобразовываются как компоненты 4-радиус-вектора xi. Следовательно, при преобразовании Лоренца, т. е. при переходе из одной инерциальной системы в другую, имеем

(Следует помнить, что для обратного перехода из системы S (лабораторной) в систему S′ формулы имеют аналогичный вид, отличающийся лишь знаком перед V/c.) В качестве иллюстрации здесь их приведём для компонент 4-радиус-вектора:

Квадрат любого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-

вектора в виде

(A0)2 − (A1)2 − (A2)2 − (A3)2.

Для удобства записи подобных выражений применяются два «сорта» компонент 4-векторов, обозначаемые буквами Ai, Ai с индексами сверху и снизу. При этом