Яковлев В. И. Классическая электродинамика, ч. 3. Четырёхмерная электродинамика и геометрическая оптика

ке пространства. Таким образом, в приближении геометрической оптики тройка векторов grad ψ(r), E(r, t), B(r, t) составляют правую ортогональную систему векторов, аналогичную векторам k, E, B в плоской монохроматической волне.

Читателю известно, что однородная система (17.10), (17.11) алгебра-

ˆ ˆ

ических уравнений относительно компонент векторов E0, B0 допускает нетривиальные решения лишь при условии равенства нулю определителя системы. В данном случае это условие выявляется и без вычисления

ˆ

определителя. Для этого нужно B0(r) из уравнения (17.10) выразить

ˆ

через E0(r) и подставить в (17.11):

[ ]

ˆ ˆ

grad ψ × [grad ψ × E0(r)] + ϵ(r)E0(r) = 0.

Раскрыв двойное векторное произведение и воспользовавшись первым

ˆ

из условий (17.12), отсюда получаем уравнение для E0(r)

и, как следствие, искомое условие в виде требования

(grad ψ)2 = ϵ(r),

которое выше уже было названо уравнением эйконала. Оно задает функцию ψ(r), позволяющую определить систему поверхностей постоянных фаз из условия

ψ(x, y, z) = const .

Последовательная совокупность волновых поверхностей дает картину распространения волны и является, таким образом, первым из двух способов описания волны в геометрической оптике. Другой, более удобный способ описания волнового поля предусматривает использование световых лучей, представляющих собой траектории, ортогональные фронтам световой волны. Следовательно, в каждой точке пространства направление касательной к световому лучу совпадает с направлением вектора grad ψ. Таким образом, на языке векторного анализа световые лучи — это силовые линии векторного поля grad ψ.

Снеллиуса

sin φ0 = n(0) sin φ(0),

где φ(0) — угол преломления луча на границе x = 0. Для этого достаточно приравнять производные по y от обеих частей равенства (17.16) и заметить, что

Решение задачи (17.15), (17.16) напрашивается в виде

ψ(x, y) = F (x) + sin φ0 y,

√

где F (0) = 0, F ′ = ± n2(x) − sin2 φ0. Волне, уходящей от границы

x = 0 вправо, соответствует знак «плюс», поскольку F ′ = gradx ψ. Следовательно, искомое решение для произвольного распределения n(x) есть ∫ x √

ψ(x, y) = n2(ξ) − sin2 φ0 dξ + sin φ0 y. (17.17)

0

Теперь можно приступить к геометрическому описанию прошедшей волны. Начнём с фазовых поверхностей ψ = ψi = const . Им соответствуют кривые в плоскости (x, y), задаваемые уравнением

зависит только от x-координаты точки наблюдения. Получается, таким образом, что в любой точке плоскости x = x0 угол φ(x0) подчиняется условию

n(x0) sin φ(x0) = sin φ0,

аналогичному закону преломления Снеллиуса. То есть угол φ(x0) равен углу преломления при падении луча под углом φ0 из пустоты на границу среды с показателем преломления n(x0) (как будто передний слой

0 < x < x0 вовсе отсутствует). Отсюда на качественном уровне нетрудно представить изменение характера траектории луча в зависимости от вида кривой n(x), как схематически показано на рис. 17.2. Здесь сплошные линии с номерами 1, 2 изображают траекторию луча соответственно для зависимостей n1(x) и n2(x), проведенных штриховыми линиями и отличающихся характером перехода от значения n(0) > 1 при x = 0 до асимптотического значения n∞ = 1. В первом случае этот переход имеет монотонный характер, а во втором монотонность нарушается. Соответствующие траектории 1 и 2 чётко откликаются на это изменение.

Траектория луча, как силовая линия векторного поля (17.18), определяется уравнением

Отсюда для луча, начинающегося в точке (0, y0), имеем

0n2(x) − sin2 φ0

Представленные на рис. 17.2 траектории 1 и 2, проходящие через точку (0, 0), соответствуют именно этому решению (17.19).

17.4.Второе приближение геометрической оптики для конкретного примера

ˆ

показано, что уравнение для Ez(x, y) имеет вид уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом (17.4). Но даже в случае, когда ϵ = ϵ(x) зависит только от одной координаты, как в примере из предыдущего параграфа, решение соответствующего уравнения

построить сложно. Поэтому обратимся к приближению геометрической

выражение (17.21) в уравнение (17.20) и сгруппировав слагаемые по степеням большого параметра k0, получим

Наличие двух свободных функций дает возможность приравнять нулю главный член (последнее слагаемое левой части) этого уравнения. В результате мы получаем независимое уравнение для функции ψ(x, y) (уравнение эйконала)

(∂ψ )2 + (∂ψ )2 = ϵ(x). ∂x ∂y

Остающиеся слагаемые дают уравнение для комплексной амплитуды электрического поля

Отбросив последний малый член, отсюда получаем уравнение

для получения картины световых лучей мы пока нуждаемся в решении нелинейного уравнения в частных производных — уравнения эйконала. Трудность этого пути очевидна. Но, к счастью, существует метод и непосредственного построения траектории луча — без промежуточного этапа в виде решения уравнения эйконала. Для этого используется так называемое уравнение луча, аналогичное уравнению движения материальной точки в заданном силовом поле.

Выводу уравнения луча и граничных условий для него посвящен материал данного параграфа. Но перед этим мы убедимся в важном свойстве светового луча: в каждой точке пространства его направление совпадает с направлением усредненного потока энергии, выражаемого вектором Пойнтинга S = (c/4π)[E × B].

Плотность потока энергии в геометрической оптике

Из правила (7.19) вычисления среднего значения произведения в ви-

ˆ ˆ ˆ

де < [E×B] >= (1/2)Re[E0 ×B0 ], если в нём B0 заменить соответствующим выражением из уравнения (17.10) и воспользоваться условием

Видим, что усредненный вектор Пойнтинга действительно направлен вдоль светового луча.

Заметим далее, что коэффициент при grad ψ в соотношении (17.25) связан с усредненной плотностью энергии электрического поля, поскольку

характеризуется той же величиной (17.26), поскольку, как следует из

< Wm >=< We > .

Отсюда следует, что суммарная усредненная плотность энергии

Если, воспользовавшись уравнением эйконала (17.8), grad ψ выразить через введённый ниже единичный вектор u касательной к световому лучу:

Следовательно, в приближении геометрической оптики средняя плотность энергии распространяется вдоль луча со скоростью c/n.

Уравнение луча

Как уже отмечалось, касательная к световому лучу в каждой точке совпадает с grad ψ. Если точку на кривой характеризовать расстоянием

R(s)

•••

O

Рис. 17.3

s, измеренным вдоль луча, то единичный вектор касательной (см. рис. 17.3) будет

Конечно, это ещё не есть уравнение луча, т. к. содержит градиент неизвестной функции ψ(r). Для его исключения надо взять производную от обеих частей полученного соотношения