1.3. Понятие базиса. Координаты вектора и их свойства
Определение 8.Три вектора ,,называются базисом в , если:
1) ,, линейно независимы;
2) любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. найдутся числа ,и такие, что.
Определение 9. Два вектора иназываются базисом в плоскости, если:
1) илинейно независимы;
2) для любого вектора этой плоскости найдутся числаитакие, чтоможно представить в виде их линейной комбинациии, т.е. найдутся числаитакие, что.
Из результатов, полученных в 1.2, следует, что любые три некомпланарных вектора составляют базис в .
В самом деле, пусть ,ине компланарны. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 4 векторы,илинейно независимы. А в силу следствия из теоремы 5 любой векторможет быть представлен в виде линейной комбинации,и, и, таким образом,,иявляются базисом в(в соответствии с определением 8).
Аналогично любые два неколлинеарных вектора образуют базис в плоскости.
Действительно, если ине коллинеарны, то согласно следствию из теоремы 3илинейно независимы. А в силу следствия 1 из теоремы 4 любой векторплоскости может быть представлен в виде их линейной комбинации и, следовательно,,- базис плоскости (в соответствии с определением 9).
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением базиса в пространстве.
Пусть ,,– произвольный базис в,. Тогда
(1.10)
Правая часть равенства (1.10) называется разложением вектора по базису,,, а числа,,– координатами вектораотносительно базиса,,.
Теорема 6.Пусть ,,– базис в . Координаты любого вектораотносительно базиса ,,определяются однозначно.
Доказательство.Доказательство проведем от противного.
Допустим, существует другое разложение вектора по базису,,:
Противоположный вектор (см. замечание 4). К обеим частям равенства (1.10) прибавим вектор
и получим
. (1.11)
Равенство (1.11) означает, что линейная комбинация векторов ,,равна, откуда в силу линейной независимости,иследует, что коэффициенты при,иравны нулю, а тогда,,.
Теорема 7.Пусть ,,– базис в. При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.
Доказательство. Пусть,. Привлекая свойства 1 и 2 операции сложения, получим
.
Далее свойство 4 операции умножения на число дает
.
В силу теоремы 6 о единственности разложения вектора по базису числа ,,и являются координатами вектора.
Пусть – произвольное вещественное число,–вектор, введенный выше. Рассмотрим вектор.
Имеем .
Используя свойство 3, а затем 5 умножения вектора на число, получим
.
Используя теорему 6 о единственности разложения вектора по базису, придем к тому, что числа и– координаты вектораотносительно базиса,,. Теорема доказана.
1.4. Проекция вектора на ось
Осью назовем прямую с указанным на ней направлением.
Определение 10.Пусть - произвольный вектор,- ось. Проведем через начало и конец вектораплоскости, перпендикулярные оси, пусть точки пересечения этих плоскостей с осью –и.
Рис. 1.16 поясняет определение 10.
Определение 11.Углом наклона вектора к осиназывается наименьший угол между двумя выходящими из произвольной точкилучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением оси, другой – направление, совпадающее с направлением вектора.
На рис. 1.17, поясняющем определение 11, угол наклона к оси, который в дальнейшем будем обозначать, отмечен двумя дугами.
Теорема 8.Пусть – произвольная ось,. Тогда.
Доказательство.Обозначим через– ось, проходящую через точку, начало вектора, и имеющую направление оси. Тогда углом наклона вектора к осибудет согласно определению 11, угол(рис. 1.18).
Случай 1.Направлениесовпадает с направлением оси(а следовательно, и). Тогда
.
Случай 2.Направлениепротивоположно направлению оси(т.е. итоже). Тогда
.
Теорема 8 доказана.