Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Упражнение 170. Докажите тождества

а) sh(z1 + z2) = sh z1 ch z2 + ch z1 sh z2, ch(z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2;

б) ch2 z − sh2 z = 1.

Одной из важнейший идей в математике является обращение функций и операций. В результате обращения сложения получилось вычитание и вслед за ним – отрицательные числа. В результате обращения умножения получилось деление и вслед за ним – рациональные числа. Обращением степенной функции с натуральным показателем получились квадратные и прочие корни и т. д.

Попробуем обратить комплексную экспоненту ez . Обратная функция к действительной экспоненте нам известна – это натуральный логарифм ln x. Для обращения комплексной экспоненты надо решать уравнение ew = z 6= 0 относительно неизвестной w = x + iy. Так как

z = ex+iy = ex (cos y + sin iy), |z| = ex , arg z = y mod 2π,

то x = ln |z|, y = yk = arg z + 2πk, k Z. Получилась бесконечная серия решений

wk = w0 + 2πki, k Z, w0 = ln |z| + i arg z,

что не удивительно, так как комплексная экспонента имеет период 2πi, действительно, справедливо тождество ez+2πi = ez .

Функцию, принимающую значение w0, естественно обозначить ln z. Ясно, что при действительном положительном z она совпадает с обычным действительным логарифмом.

Но как быть с остальными значениями? По причинам, которые здесь нет возможности объяснять, удобно ввести в рассмотрение функцию Ln z, принимающую бесконечное множество значений wk – бесконечнозначную функцию. Строгая теория таких функций сложна, и мы не можем излагать ее здесь.

Но если читателю неприятно иметь дело с многозначной функцией, ее можно превратить в однозначную, но принимающую в качестве значений не комплексные числа, а классы эквивалентности таких чисел по модулю 2πi.

Определение 108. Числа z, w назовем эквивалентными по модулю 2πi (обозначение z = w mod 2πi), если z − w = 2πki, k Z. Классом эквивалентности числа z назовем множество всех эквивалентных ему чисел (обозначение z mod 2πi). Множество всех таких классов эквивалентности обозначим G. Множество классов эквивалентности действительных чисел по модулю 2π обозначим T.

На введенных множествах можно определить операции сложения, и они превратятся в группы.

Определение 109. Пусть даны A = a mod 2πi и B = b mod 2πi – два класса эквивалентности. Назовем суммой A + B тот класс эквивалентности, который содержит число a + b, т. е. (a + b) mod 2πi.

Для обоснования корректности этого определения понадобится Упражнение 171. Если a mod 2πi = c mod 2πi и b mod 2πi = d mod

2πi, то (a + b) mod 2πi = (c + d) mod 2πi.

В следующем упражнении проверяется, что множество R × T с введенной операцией сложения образует коммутативную группу.

Упражнение 172. Проверьте, что введенная операция сложения обладает свойствами ассоциативности и коммутативности, нулевым классом относительно этого сложения является класс 0 mod 2πi, а также справедливо равенство

(−a mod 2πi) + (a mod 2πi) = 0 mod 2πi.

Аналогичным образом определяется коммутативная группа и на множестве T.

Раньше мы уже проверяли, что и поле действительных чисел R относительно операции сложения образует коммутативную группу.

Теорема 108. Группа G изоморфна прямому произведению групп R и T, т. е. группе R × T.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим произвольному классу z mod 2πi из группы G упорядоченную пару (Re z, Im z mod 2π), первая компонента которой есть действительное число Re z, а вторая – класс эквивалентности по модулю 2π, содержащий действительное число Im z. Тогда

Указанное соответствие является взаимно однозначным соответствием между группами G и R × T.

Так как для любых комплексных чисел z1, z2

Re (z1 + z2) = Re z1 + Re z2, Im (z1 + z2) = Im z1 + Im z2, Im (z1 + z2) mod 2π = (Im z1 + Im z2) mod 2π =

= (Im z1 mod 2π) + (Im z2 mod 2π),

то сумме классов (z1 + z2) mod 2π будет сопоставляться упорядоченная пара (Re z1 + Re z2, (Im z1 mod 2π) + (Im z2 mod 2π)), которая, по определению сложения в прямом произведении групп R и T, равна сумме

(Re z1, Im z1 mod 2π) + (Re z2, Im z2 mod 2π), что и доказывает объявленный изоморфизм.

284 Глава IV. Алгебраические уравнения

Теперь мы можем рассматривать функцию Ln z как отображение из группы ненулевых комплексных чисел относительно умножения (мультипликативной группы) в группу R × T. Значение Ln z определим как Ln z = ln z mod 2πi = (ln |z|, arg z mod 2π). При этом справедливо логарифмическое тождество Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2. Действительно, если ln zi = wi , то ewi = zi , значит, ew1+w2 = ew1 ew2 = z1z2 =6 0, откуда

Ln(z1z2) = ln(z1z2) mod 2πi = (w1 + w2) mod 2πi =

=(w1 mod 2πi) + (w2 mod 2πi) =

=(ln z1 mod 2πi) + (ln z2 mod 2πi) = Ln z1 + Ln z2.

Упражнение 173. Проверьте, что единичная окружность на комплексной плоскости |z| = 1 относительно операции умножения образует группу.

Функция eix отображает действительную ось (группу R относительно сложения) в эту группу, причем справедливо тождество

ei(x1+x2) = eix1 eix2 .

Это отображение не взаимно однозначно, поэтому оно не является изоморфизмом этих групп (и они действительно неизоморфны). Но отображение x mod 2π → eix из группы T в единичную окружность корректно определено, взаимно однозначно и является изоморфизмом указанных групп, так как

(x mod 2π) + (y mod 2π) = (x + y) mod 2π → ei(x+y) = eix eiy . Тем самым доказана

Теорема 109. Мультипликативная группа комплексных чисел, по модулю равных единице, изоморфна группе T действительных чисел по модулю 2π относительно сложения.

На самом деле, конечно, в этой формулировке можно заменить 2π на любое положительное число.

Доказанная теорема кажется очевидной, но в ней фактически замаскирована вся тригонометрия, а строгого построения теории тригонометрических функций мы не давали. Если же попытаться доказать эту теорему, не пользуясь тригонометрическими функциями, то это станет трудной задачей, по существу эквивалентной строгому построению тригонометрии.

Обратные тригонометрические функции можно определить аналогичным логарифму образом, и они тоже оказываются бесконечнозначными. Но так как тригонометрические функции выражаются через экспоненту, то и обратные к ним функции можно выразить через комплексный логарифм.

Функции, обратные к гиперболическим, можно выразить через логарифмы, не используя мнимую единицу.

С помощью логарифма можно определить и комплексную степенную функцию. Для любых комплексных A =6 0, B положим по определению AB = eB Ln A. Эта функция также будет, разумеется, бесконечнозначной.

Но если A – действительное положительное, то Az можно считать однозначной функцией ez ln A. Обратная к Az функция LogA z = Lnln Az будет,

естественно, бесконечнозначной.

П р и м е р ы. 1. Справедливо равенство eπi = −1. Эта формула Эйлера символизирует единство всей математики. Число e представляет в ней анализ, i – алгебру, −1 – арифметику, а π – геометрию. С определенной точки зрения она представляет собой скорее определение, чем теорему.

2. Справедливо равенство (−1)i = eπ (1+2k) , k Z. Действительно, = −1, значит, Ln(−1) = π (1 + 2k)i, откуда

(−1)i = ei Ln(−1) = e−π (1+2k) = eπ (1+2k)

имеет бесконечную серию действительных значений. Главное из них eπ . Трансцендентность (т. е. неалгебраичность) этого числа впервые доказал в 1929 г. аспирант МГУ А. О. Гельфонд, решив тем самым седьмую проблему Гильберта.

Задачи и упражнения к § 4.16

√

1. Вычислите i −1.

2. Определите в комплексной области тангенс, проверьте, что на действительной оси он совпадает с обычным тангенсом, и докажите для него теорему сложения.

3. Докажите для комплексных тригонометрических функций формулы приведения и свойства четности-нечетности.

4. Найдите периоды комплексных тригонометрических функций и убедитесь, что они такие же, как и у действительных.

5.Комплексная экспонента, в отличие от действительной, – периодическая функция. Ее период равен 2πi. Гиперболические функции тоже периодические с периодом 2πi.

6.Докажите формулы, связывающие друг с другом разные тригонометрические функции.

7.Покажите, что любая (в разумном понимании) формула действительной тригонометрии справедлива и в комплексной тригонометрии.

8.Докажите, что

sin (x + yi) = sin x ch y + i cos x sh y, cos (x + yi) = cos x ch y − i sin x sh y.

9. Докажите формулы связи между обычными и гиперболическими функциями

sh iz = i sin z, ch iz = cos z, sin iz = i sh z, cos iz = ch z.

10.Выведите с помощью этих формул связи из тригонометрических теорем сложения гиперболические теоремы сложения и наоборот.

11.Докажите, что

sh (x + yi) = sh x cos y + i ch x sin y, ch (x + yi) = ch x cos y + i sh x sin y.

12*. Определим функцию (называемую гудерманианом) gd z = 2 arctg ez − π2 .

(гиперболические функции переходят в тригонометрические и наоборот!).

§ 4.17. Тригонометрические многочлены

Определение 110. Назовем тригонометрическим многочленом

степени n (или порядка n) выражение вида

a0 + (a1 sin z + b1 cos z) + . . . + (an sin nz + bn cos nz).

Если его коэффициенты ai , bi комплексные, то тригонометрический многочлен называем комплексным, а если они действительные, то его называем действительным, при этом естественно предполагать, что

и переменная z действительная, и обозначать ее x. Предполагаем также, что an 6= 0 или bn 6= 0.

Для того чтобы дать еще два эквивалентных определения тригонометрических многочленов, понадобится интересная и сама по себе лемма.

k=n+m

X

=ak sin kz + bk cos kz,

k=0

где коэффициенты ak, bk будут действительными и a2n+m + bn2+m > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства (i) используем формулу Муавра

и далее два раза формулу бинома, учитывая, что в них четные слагаемые сокращаются, а нечетные слагаемые удваиваются, и заменяя в них i2k+1 на i(−1)k.

Формула (ii) доказывается аналогично, только в ней при раскрытии биномов сокращаются нечетные слагаемые.

Для доказательства формулы (iii) достаточно раскрыть скобки в со-

ak sin kz + bk cos kz. Ясно, что cn+m 6= 0.

Заметим, что при замене в обоих сомножителях i на −i оба они не меняются, а значит, не меняется и их произведение, но представление его в виде

ckeikz

единственно согласно известному свойству полиномиальных функций. Следсвательно, сумма ckeikz + c−ke−ikz не меняется при замене i на −i.

При этой замене cj превращается в комплексно-сопряженное cj , поэтому ck и c−k сопряжены друг другу, т. е.

ck = Ak + iBk, c−k = Ak − iBk,

значит,

ckeikz + c−ke−ikz = 2 Re ckeikz =

= 2 Re (Ak + iBk) (cos kz + i sin kz) = 2(Ak cos kz − Bk sin kz) и остается сложить полученные равенства.

Из этой леммы легко следует

Теорема 110 (о тригонометрических многочленах).

(i) Любой тригонометрический многочлен степени n можно представить единственным образом в виде

c−ne−inz + . . . + c−1e−iz + c0 + c1eiz + . . . + cneinz = e−inz P2n (eiz),

где P2n – многочлен степени не выше 2n, а в действительном случае – многочлен в точности степени 2n, коэффициенты которого удовлетворяют равенствам ck = c−k, и обратно, любое выражение e−inz P2n (eiz), где P2n – многочлен степени 2n, представимо единственным образом в виде тригонометрического многочлена степени n, а если коэффициенты многочлена удовлетворяют равенствам ck = c−k, то тригонометрический многочлен имеет действительные коэффициенты.

Для любого действительного тригонометрического многочлена степени n соответствующий многочлен P2n (z) удовлетворяет тождеству

и его корни, отличные от нуля и единицы, распадаются на пары вида (zi , 1/zi).

(ii) Любой тригонометрический многочлен степени n можно

представить (но не единственным образом) в виде многочлена от sin x, cos x степени n

X

ci,j sini x cosj x,

i+ j6n

и обратно, любой многочлен от sin x, cos x степени n представим единственным образом в виде тригонометрического многочлена степени n, причем действительный тригонометрический мно-

гочлен представим в виде действительного многочлена от sin x, cos x.

Упражнение 176. Докажите, что произведение тригонометрических многочленов порядков n и m есть тригонометрический многочлен порядка

n + m.

Напомним, что функция называется четной, если она не меняется при смене знака у переменной, и нечетной, если она при этом меняет знак.

Упражнение 177. Тригонометрический многочлен четен тогда и только тогда, когда он состоит из одних косинусов, и нечетен, если он состоит только из синусов.

Лемма 28. Справедливы тождества:

k=0

причем действительные многочлены Tn и Un−1 степеней n и n − 1 определяются однозначно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование многочленов Tn и Un−1 влетворяющих указанным тождествам, следует из формул (i), (ii) предыдущей леммы. Единственность вытекает из п. (i) предыдущей теоремы.

Многочлены Tn и Un−1 называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

Теорема 111 (о четных и нечетных тригонометрических многочленах). (i) Любой четный тригонометрический многочлен степени n можно представить единственным образом в виде многочлена от cos z степени n, и обратно, любой многочлен от cos z степени n представим единственным образом в виде четного тригонометрического многочлена степени n, причем действительному тригонометрическому многочлену соответствует действительный многочлен от cos z.

(ii) Любой нечетный тригонометрический многочлен степени n можно представить единственным образом в виде многочлена от cos z степени n − 1, умноженного на sin z, и обратно, любой многочлен от cos z степени n − 1, умноженный на sin z, представим единственным образом в виде нечетного тригонометрического многочлена степени n, причем действительному тригонометри-

ческому многочлену соответствует действительный многочлен от cos z.