1. Определённый интеграл. Интегральная сумма. Верхние и нижние интегральные суммы. Их свойства. Геометрический смысл определённого интеграла.

Пусть на некотором промежутке задана функция .

Произведём разбиение отрезка точками . Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку .

- интегральная сумма.

Устремим . Максимум - мелкость разбиения (характеристика разбиения).

Фигура под кривой называется криволинейной трапецией.

- определение определенного интеграла (если предел существует).

Интегральные суммы и их свойства:

Нижняя интегральная сумма: , где

Верхняя интегральная сумма: , где

1) , при данном конкретном разбиении.

2) если разбиение получается из разбиения T добавлением одной точки разбиения, то нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться, т.е.

Следствие: при добавлении к любому разбиению T любого дополнительного числа точек разбиения нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя - только увеличиться.

3) Для любых 2-х разбиений T' и T'', нижняя интегральная сумма любого разбиения не превосходит интегральную сумму другого разбиения .

Доказательство: по предыдущему свойству рассмотрим разбиение T, полученное из всех точек разбиения T' и T''. Тогда . Аналогично . И т.к. , то , что и требовалось доказать.

4) Все нижние интегральные суммы ограничены сверху, а все верхние интегральные суммы ограничены снизу. Как известно, множество чисел, ограниченных сверху имеют точную верхнюю грань аналогично и для ограниченных снизу - нижняя грань .

- верхняя грань для s.

- верхняя грань для S.

Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью и графиком функции

2. Основные свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. 1) ; 2) ; (следует из определения интеграла как предела интегральных сумм). 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;