Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Упражнение 113.

1. Докажите, что при любых натуральных p и q число (p + 1)2q+1 +

+pq+2 делится на p2 + p + 1.

Ре ш е н и е. Рассмотрим многочлен f(x) = (x + 1)2q+1 + xq+2 и покажем, что он делится на квадратный трехчлен x2 + x + 1. Этот трехчлен имеет два различных корня α и β и поэтому в силу доказанного выше следствия достаточно показать, что числа α и β являются корнями f(x).

Заметим, что число α по определению таково, что α2 = −α − 1,

и, с другой стороны, α2 + α + 1 = α3 − 1 , так что α3 = 1. Поэтому

α − 1

f(α) = (α + 1)2q+1 + αq+2 = (−α2)2q+1 + αq+2 = −(α2)2q+1 + αq+2 =

= −α4q+2 + αq+2 = αq+2 (1 − α3q) = 0.

Аналогично показывается, что f(β) = 0, так что f(x) действительно делится на x2 + x + 1. Способ деления углом показывает при этом, что частное g(x) имеет целые коэффициенты, значит, выполняется равенство f(p) = (p2 + p + 1) g(p), в котором g(p) – целое число.

2. При каких n Z число n44 + n + 1 простое?

Р е ш е н и е. При n = 0 и n = −1 это число равно 1 и простым не является, при n = 1 оно равно 3.

Докажем, что при всех остальных n число будет составным. Рассмотрим многочлен f(x) = x44 + x + 1 и докажем, что он делит-

ся на квадратный трехчлен x2 + x + 1. Пусть α и β – корни квадратного трехчлена. Тогда

3. Разложить на множители многочлены x5 + x + 1 и x10 + x5 + 1.

Р е ш е н и е. Заметим, что если α является корнем квадратного трехчлена x2 + x + 1, то α3 = 1, и тогда

α5 + α + 1 = α2 + α + 1 = 0, α10 + α5 + 1 = α + α5 + 1 = 0.

Следовательно, многочлены x5 +x+1 и x10 +x5 +1 делятся на x2 + x + 1. Частные от деления найдите самостоятельно.

Задачи и упражнения к § 4.11

1.Решите уравнения: а) x6 + 27 = 0; б) x2n − 2xn + 2 = 0.

2.Постройте многочлен из R [x] наименьшей степени с трехкратным корнем 2 + 3i.

3.Составьте уравнение 6-й степени с корнями α, 1/α, 1 − α, 1 − 1/α, 1/(1 − α), 1/(1 − 1/α).

4.Разложите на множители над полями действительных и комплекс-

=a(1 − ix)n действительны.

7.Докажите, что многочлен x3n + x3m+1 + x3k+2 делится на 1+ x + x2.

10*. Если многочлен f(x) R [x] и не принимает при x R отрицательных значений, то он представим в виде суммы квадратов двух многочленов из R [x].

11*. Пусть Mk (xk, yk) – точки на плоскости, yk > 0 при k 6 m и yk < 0 при k > m. На оси абсцисс расположены точки Al , 1 6 l 6 n + 1, так, что

где MkAl ∞ – угол между вектором Al Mk и положительным направлением оси абсцисс. Докажите, что множество всех точек Mk симметрично относительно оси абсцисс.

12. Если a1, . . . , an – вершины правильного n-угольника с центром в a, то для любого многочлена f(x) C [x] степени, меньшей n,

f(a1) + . . . + f(an) = nf(a).

13. Дробно-рациональная функция называется: правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; примарной над данным полем, если знаменатель является степенью неприводимого над данным полем многочлена; простейшей, если она примарна и степень числителя меньше степени этого многочлена. Докажите, что сумма и произведение

правильных дробей – правильные, и любая дробь есть сумма многочлена и правильной дроби, причем это представление – однозначно.

14*. Правильная дробь разлагается в сумму примарных дробей с взаимно простыми знаменателями, причем это представление однозначно.

15*. Примарная дробь разлагается в сумму простейших дробей, причем это представление однозначно.

16*. Разложите над полями C и R дробь 1/(x2n + 1) на простейшие.

§ 4.12. Как решать уравнения на экзаменах

В этом параграфе на основе изложенного материала дадим сводку основных приемов решения алгебраических и сводящихся к ним уравнений.

Уравнения первой степени, надеемся, читатель умеет решать. Квадратные уравнения обсуждались в § 1.5. Трудности возникают только с уравнениями высоких степеней.

Дадим несколько советов, отсылая за подробностями к соответствующим параграфам книги.

Вначале надо проверить, не имеет ли уравнение специальный вид, для которого есть свой метод решения. Например, не является ли оно биквадратным, или уравнением вида af(x)2 + bf(x) + c = 0, сводящимся к квадратному какой-нибудь заменой переменных y = f(x). После этого придется решать одно или два уравнения вдвое меньшей степени. Подобные приемы решения называются понижением степени уравнения.

Легко понижается степень четных или нечетных уравнений. Если многочлен p(x) не является ни тем, ни другим, но удовлетворяет равенству p(x) = p(a − x) при некоторой константе a, то у уравнения p(x) = 0 можно понизить степень с помощью замены y = x(a − x).

Упражнение 114. Докажите это и решите уравнение x4 − 2x3 − 2x2 + 3x + 2 = 0.

В § 3.9 показано, как понижать степень у возвратных уравнений с помощью замены y = x + 1/x.

Упражнение 115. Решите уравнение

x6 − 10x4 − 12x3 − 10x2 + 1 = 0.

Если уравнение имеет вид f(f(x)) = x или подобный, то можно его решить приемами, указанными в § 3.7, посвященном итерациям и приближенным методам.

Если же ни один из указанных приемов не работает, то пытаемся понизить степень уравнения, разложив его на множители. Если очевидным

образом оно не разлагается, то приступаем к систематическому поиску разложения. Начать лучше всего с наиболее простых и знакомых вам приемов. Например, с простого поиска рациональных корней методом Гаусса, описанным в задаче 11 из § 3.2. Он применим только к уравнениям с рациональными коэффициентами, причем предварительно их коэффициенты надо сделать целыми путем умножения на подходящее целое число.

Упражнение 116. 1. Решите уравнение Бхаскары *

x4 − 2x2 − 400x − 9999 = 0.

2. Решите уравнение Бомбелли ** x3 = 15x + 4.

Если рациональных корней найти не удалось, то надо искать разложение на множители более высоких степеней. В § 3.8 было доказано, что если коэффициенты многочлена целые, то его разложение можно искать среди таких же многочленов, причем оно определено фактически однозначно. Однако многочлен может оказаться и неприводимым. Чтобы зря не тратить время на поиск его разложения, может быть полезно применить один из признаков неприводимости из § 3.8. Но это совет для пессимистов.

Для уравнений четвертой степени поиск разложения можно прове-

сти методом неопределенных коэффициентов. Этот метод, предложенный Декартом, заключается в том, что в искомом разложении неизвестные коэффициенты обозначаются четырьмя буквами, вычисляются буквенные выражения коэффициентов произведения и приравниваются к известным коэффициентам уравнения, после чего полученная система решается подбором целых значений коэффициентов. Указанный прием не является, конечно, алгоритмом, но иногда ускоряет поиск разложения. Однако его применение для уравнений степени выше четвертой, как правило, затруднительно.

Упражнение 117. Решите уравнение Луки Пачоли ***

x4 + 2x3 + 3x2 + 2x − 81600 = 0.

Гарантированно найти разложение можно, применяя алгоритм Кронекера (см. § 3.8), хотя это очень трудоемкая процедура.

* Бхаскара Ачарья (1114–1178) – индийский математик и астроном.

**Р. Бомбелли (Ra aele Bombélli, 1530–1572) – итальянский математик и инженер. Первым открыл комплексные числа.

***Л. Пачоли (Luca Pacioli, 1445–1517) – итальянский математик. Написал трактат о золотом сечении. Друг Леонардо да Винчи.

а в задачниках и на экзаменах – довольно часто. Если есть подозрение о наличии кратных корней, иногда лучше сразу их отделить одним из методов бесквадратной факторизации (см. § 3.12).

Упражнение 119. Решите уравнение

x6 + x5 − 3x3 − 4x2 − 3x − 1 = 0.

Методы эти трудоемки, так как при применении алгоритма Евклида быстро растут коэффициенты (борьба с этим явлением, которое встречается и в других ситуациях, – одна из проблем компьютерной алгебры). Но зато они применимы не только к многочленам с целыми коэффициентами.

Упражнение 120. Решите уравнение x3 + 6x = (3x2 + 2)√2.

Впрочем, это уравнение можно решить, просто угадав корень. Угадывание корней – вполне законный прием. Для некоторых неалге-

браических (трансцендентных) уравнений это единственное, что остается. Упражнение 121. Угадайте корень уравнения xx4 = 4.

После того как корень угадан, можно попытаться доказать, что других корней нет. Обычно для этого используют технику неравенств, в частности соображения монотонности.

Упражнение 122. Докажите, что уравнение xx4 = 4 имеет единственный корень.

Для алгебраических уравнений развиты различные методы для определения числа корней в данных интервалах, для их оценки и для так называемого разделения корней, служащего первым этапом перед их приближенным вычислением. Мы не собираемся излагать здесь эти методы, а ограничимся некоторым представлением о них, которое можно получить в § 4.1 и в задачах из § 4.18. Заметим, что методы приближенного вычисления корней можно использовать и для их угадывания, особенно если под рукой есть калькулятор.

А когда же надо применять формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени? Только тогда, когда упомянутые выше элементарные приемы не дали результата. Например, если вы доказали, что кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то остается только применить формулу Кардано, а в неприводимом случае сделать тригонометрическую подстановку

и получить тригонометрическое решение. Заметим, что если уравнение не имеет канонического вида x3 + px + q = 0, то иногда более красивые тригонометрические решения получаются, если применить какой-нибудь искусственный прием, как, например, в задаче 10 из § 4.2.

В § 4.19 будет доказано, что если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то его корни нельзя выразить только через квадратные радикалы, т. е. решить «школьным» методом.

Если уравнение четвертой степени с рациональными коэффициентами не удалось решить элементарно, то можно, например, применить метод Феррари, найти кубическую резольвенту, потом какой-нибудь один ее корень и разложить уравнение на квадратные множители. Если резольвента имеет рациональный корень, то его проще всего искать угадыванием (или методом поиска рациональных корней). Тогда полученное разложение будет иметь целые коэффициенты, и все корни выражаются через квадратные радикалы. Найдя решение, можно его представить как полученное «школьным» методом, например, угадыванием разложения на множители.

Если же кубическая резольвента не имеет рациональных корней, то можно доказать, что корни исходного уравнения четвертой степени нельзя выразить только через квадратные радикалы (см. § 4.19), а значит, и решить «школьным» методом.

Если мы хотим в этом случае написать явные формулы в радикалах, лучше использовать не метод Феррари, а метод Лагранжа или Эйлера.

Рассмотрим кратко приемы решения неалгебраических уравнений. Простейшие из них – это рациональные уравнения, т. е. уравнения, в обеих частях которых стоят рациональные дроби. Рациональная дробь – это частное двух многочленов. Мы не излагали строгого построения рациональных дробей, полагая, что сведений из средних классов школы об этом достаточно. Рациональные уравнения, как известно, легко сводятся к алгебраическим, если выполнить все операции над дробями в ненулевой части уравнения. Нужна только некоторая внимательность, так как, приравнивая к нулю числитель дроби в ненулевой части уравнения, мы получаем алгебраическое уравнение, не равносильное исходному, потому что оно может иметь корни, не входящие в область определения исходного уравнения. Такие корни называются посторонними и их надо отбрасывать.

Заметим, однако, что не всегда надо торопиться приводить рациональное уравнение к алгебраическому виду. Если решение полученного уравнения вызывает трудности и требует искусственных приемов, то имеет смысл вернуться к исходному уравнению, так как для него иногда легче

после такого преобразования число радикалов не уменьшается, а возрастает. Например, если во второй части стоит сумма четырех квадратных радикалов, то после возведения в квадрат их станет шесть. В таких довольно редких случаях иногда лучше распределить радикалы между частями уравнения более равномерно, например, в рассматриваемом случае два радикала с одной стороны, а три с другой.

Но и это не всегда помогает. Например, рассмотрим уравнение вида

√a1 + √a2 + √a3 = √a4 + √a5 + √a6.

Здесь как ни распределяй радикалы, после возведения в квадрат их станет еще больше. Чтобы получить представление об общем методе сведения иррациональных уравнений к алгебраическим, покажем, как избавиться от радикалов в уравнении вида

√a1 + √a2 + √a3 = b,

не перенося радикалы в правую сторону. Для этого заметим, что если раскрыть скобки в произведении всех восьми выражений вида

X − σ1√a1 − σ2√a2 − σ3√a3, σ1 = ±1, σ2 = ±1, σ3 = ±1,

то получится многочлен от X восьмой степени, коэффициенты которого будут многочленами от переменных ai и не будут содержать радикалов. В этом можно убедится непосредственно, разбивая сомножители на пары вида (A + √a3) и (A − √a3) и перемножая их по правилу разности квадратов. Таким образом избавляемся от √a3, после чего получится 4 произведения (квадратные трехчлены от X), которые разбиваем на пары аналогичным образом, и т. д. Подставим вместо X в полученный многочлен выражение

и раскроем скобки. Получится сумма восьми слагаемых вида

где bα1,α2,α3 являются многочленами от переменных ai , i = 1, . . . , 6. Это утверждение становится очевидным, если заметить, что множество F всех сумм указанного вида замкнуто относительно сложения и умножения. Наше уравнение переписывается теперь как равенство нулю полученной суммы. Перепишем его в виде

[ai , ai+1] рассматриваемая функция линейна, и чтобы, например, нарисовать ее график, достаточно вычислить ее значения в точках ai , что требует порядка n2 операций сложения и вычитания.

Следующий класс уравнений называется классом трансцендентных уравнений и включает все остальные уравнения. В нем выделяют подклассы логарифмических, показательных и тригонометрических уравнений, но часто встречаются также и смешанные уравнения, в которых участвуют все элементарные функции, в том числе и радикалы, и обратные тригонометрические, а иногда даже и знаки целой части. Понятно, что общей теории таких уравнений не существует, однако приближенно их корни можно вычислять, например методом вилки или методом Ньютона.

Для их решения применяются самые разнообразные искусственные приемы (трюки), например, угадывание корней и пр.

Упражнение 128. Решите уравнение 16x = log 1 x.

16

Упражнение 129. Решите уравнение 3x + 4x = 5x .

Но на экзаменах обычно предлагаются уравнения, которые легко (или не очень) сводятся к алгебраическим уравнениям, как правило, квадратным.

Как это делать для некоторых классов тригонометрических уравнений, будет ясно после прочтения § 4.17. Однако для решения тригонометрических уравнений есть масса своих собственных приемов, в основном связанных с разложением на множители, которые позволяют достичь цели быстрее, чем методы из § 4.17. Здесь мы не будем их излагать.

Задачи и упражнения к § 4.12

Решите уравнения

1.(Харриот.) x3 − 3x − 52 = 0.

2.(Стевин.) Рx3 − 6x − 40 = 0.

3.(Жирар.) (i) x3 − 13x − 12 = 0; (ii) x3 − 4x + 3 = 0.