№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
№11
№12
2. Векторная алгебра
Выразите вектор c = BO - OC через векторы AB = a , AD = b , если ABCD – параллелограмм и O – точка пересечения его диагоналей.
1) |
a |
- |
b |
; |
2) - |
b |
; |
3) |
b |
- |
a |
; |
4) - |
|
a |
. |
|
|
|
||||||||||
Укажите вид выражения |
AC |
- |
BC |
+ |
PM |
- |
AP |
+ |
BM |
после упрощения. |
|||||||||||||||||||
1) 2 |
|
; |
2) |
|
; |
3) |
|
; |
|
4) |
|
. |
|||||||||||||||||
PM |
PM |
AP |
|
AC |
|||||||||||||||||||||||||
Найдите длину и начало вектора a = ( -1; - 2;1) , если его конец совпадает с точкой
(6;4;5).
Укажите соответствие между отрезком и его длиной, если А(-3;-3), В(5;3),
С(5;-3).
1) |
AB |
; |
2) |
AC |
; |
|
|
3) |
BC |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a) 2; |
b) 1; |
|
|
|
c) 10; |
|
d) 6; |
|
е) 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Укажите соответствие между действием и результатом, если |
a |
= ( - 3; -1; 2) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= -i |
+ j + 2k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1) - 3 |
|
+ |
|
; |
|
|
|
|
2) - |
|
- 2 |
|
; |
|
3) 2 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
b |
|
|
|
a |
b |
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a) - 8 |
|
|
|
; |
|
|
|
b) ( 5; -1;6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) ( 5; -1; - 6) ; |
е) (8; 4; - 4) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
+ 8k |
|
|
|
|
c) - 8i |
|
+ 8k ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите значение k, при котором вектора |
a |
= (1; 2;3) |
и |
|
|
|
= ( 2; k; 6) : 1) коллинеарны, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Найдите угол между векторами |
|
и |
|
, если |
|
|
× |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,5 , |
|
|
|
|
|
= 8 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
|
|
|
, |
a |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите скалярное произведение векторов |
a |
= (1; 0; 2) |
и |
|
= ( 2;3; -1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите значение выражения (i |
- 2 |
|
|
|
)(2i |
+ |
|
|
|
)- (5i |
+ 3 |
|
)2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ 3k |
+ 5k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите площадь треугольника ABC , если |
|
A(1; - 2;8), |
B(0;0; 4) и C(6; 2; 0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Укажите значения a и b , при которых векторное произведение векторов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
= ( 4;a; 6) и |
|
|
= ( 2;1; b ) равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1) a = 2; b = |
1 ; |
|
2) a = 2; b = 1; |
|
|
|
|
|
|
3) a = 2; b = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
4) a = 2; b = 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдите объем пирамиды, построенной на векторах a = 6i + 2k , b = k и c = 2i + j + 3k .
3. Аналитическая геометрия
№ 1 |
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки А(0; -1) и В(-2; 1). Укажите |
|||
|
ее угловой коэффициент. |
Постройте эту прямую. |
||
№ 2 |
Укажите прямые, имеющие положительный угловой коэффициент. |
|||
|
g |
y |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
h |
|
|
1) u; |
2) g; |
3) h; |
4) f. |
№ 3 |
Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3), параллельно пря- |
|||
|
мой y = 5x - 2 . |
|
|
|
7
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
№11
№12
№13
Укажите прямые, параллельные прямой, проходящей через точки М0(-1; -1) и
М1(3; 4).
1) |
x |
+ |
y |
= 1; |
2) - |
x |
- |
y |
= 1 ; |
3) - |
x |
+ |
y |
= 1; |
4) |
x |
- |
y |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
5 |
|
4 |
5 |
|
4 |
5 |
|
4 |
5 |
|
||||||||
Найдите значение p, при котором вектор N = (3, p) перпендикулярен прямой
3x - y - 3 = 0 .
Укажите координаты точки D, где СD – медиана треугольника АВС с вершинами
А(-1; -1), В(3; -1), С(1; 3).
1) (2; -2); 2) (1; -1); 3) (-2; 0); 4) (0; 1).
Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСD, если точки А(2; 6), В(0; 8) и С(4; 8) являются последовательными его вершинами.
Найдите значение k, при котором расстояние между точками А(1; 2) и В(k; -2) равно 5.
Определите вид и сделайте схематичный чертеж каждой из кривых, заданных уравнениями.
1) |
x2 |
+ |
|
y 2 |
= 1; |
2) y 2 = 4x ; |
3)( x + 4)2 + ( y + 3)2 = 1; |
||
|
|
|
|||||||
9 |
25 |
|
|
|
|
||||
4) |
x2 |
- |
y 2 |
|
= 1; |
5) x 2 = 2 y . |
|
||
|
|
|
|||||||
9 |
25 |
|
|
|
|
||||
Найдите:
для окружности – координаты центра и радиус; для эллипса - координаты фокусов, расстояние между ними, большую и малую полуоси;
для гиперболы - координаты фокусов, действительную и мнимую полуоси, уравнения асимптот; для параболы – координаты фокуса, уравнение директрисы.
Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(9; 7) и имеет центр в точке С(1; 1).
1) ( x +1)2 |
+ ( y +1)2 |
= 100 ; |
2)( x - 9)2 + ( y - 7)2 = 100; |
3) ( x -1)2 |
+ ( y -1)2 |
= 10 ; |
4)( x -1)2 + ( y -1)2 = 100. |
Найдите радиус окружности x2 - 6x + y2 = 0 .
Укажите соответствие между кривой второго порядка и ее уравнением.
1) парабола; |
2) эллипс; |
3) гипербола. |
|
|
|
|
|
||||||||||
a) |
x2 |
+ |
y2 |
= 1; |
b) y2 = 49x ; |
c)81y2 - 49x2 = 0 ; |
d) |
x2 |
- |
y2 |
= 1 ; |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
81 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
81 |
|
||||
е) 49 y2 + 81x2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите полярные координаты точки Мçæ - |
|
|
|
; |
1 |
÷ö . |
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||
8
№ 14 Укажите верное утверждение:
Уравнение j = 49 в полярной системе координат ( r; j) задает…
1)прямую линию;
2)окружность радиуса 7 с центром в полюсе;
3)окружность радиуса 49 с центром в полюсе;
4)луч.
№ 15 |
Укажите вид уравнения r = a cosj в декартовых координатах. |
|||||||
|
1) x 2 + y 2 = ay ; |
2) x 2 + y 2 = a ; |
3) |
|
= ay ; |
4) x 2 + y 2 - ax = 0 . |
||
|
x2 + y 2 |
|||||||
№ 16 |
Укажите координаты точки М, симметричной точке В относительно точки А, ес- |
|||||||
|
ли A( 3; -1; 4) и B( 2; 1; 5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ( 4; - 3; 3) ; |
2)( 1; 3; 6) ; |
3)( 6; 3; 1) ; |
4)( 3; - 3; 4) . |
||||
№ 17 |
Найти объем этого куба, если A( - 1; 3; 4) и B( 0; 1; 4) - две его смежные верши- |
|||||||
|
ны. |
|
|
|
|
|
|
|
№ 18 |
Укажите верное утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В пространстве имеется отрезок, соединяющий две точки с абсциссами разных |
|||||||
|
знаков, тогда этот отрезок обязательно … |
|
|
|
||||
1)пересекает плоскость Oyz;
2)пересекает плоскость Oxy;
3)пересекает ось абсцисс;
4)пересекает плоскость Oxz.
№ 19 Укажите верное утверждение:
Уравнение 3z -1 = 0 определяет плоскость …
1)совпадающую с плоскостью Oxy;
2)перпендикулярную только плоскости Oyz;
3)параллельную плоскости Oxy;
4)перпендикулярную только плоскости Oxz.
№ 20 |
Укажите соответствие между уравнениями плоскостей и точками, лежащими в |
||||||||||||||||
|
этих плоскостях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1) 3x + y + 2z - 7 = 0 ; |
2) -x + y + z - 3 = 0 ; |
|
|
|
3) x - 3y - z +1 = 0 ; |
4) x + y - z = 0 . |
|||||||||
|
|
a) (0;0;3); |
b) (0;0;0); |
c) (2;1;1); |
d) (3;1;1); |
е) (1;2;1). |
|
||||||||||
|
Найдите для каждой плоскости координаты нормального вектора. |
|
|||||||||||||||
№ 21 |
Укажите уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;1;1) и ось Ох. |
||||||||||||||||
|
|
1) x + y = 2 ; |
|
2) x + y + z = 3; |
3) x + z = 2 ; |
4) y - z = 0 . |
|
||||||||||
№ 22 |
Найдите уравнения прямой, проходящей через точку А(3;3;0) перпендикулярно |
||||||||||||||||
|
плоскости 7x + 7 y - 6z + 7 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 23 |
Найдите координату х0 точки А(х0;2;3), принадлежащей плоскости |
|
|||||||||||||||
№ 24 |
3x + y - 2z - 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Укажите значение p, при котором вектор |
|
= ( p;6;-3) параллелен прямой |
|||||||||||||||
s |
|||||||||||||||||
|
|
x -1 |
= |
y + 3 |
= |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) 9; |
2) -5; |
|
|
3) 5; |
4) 18. |
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 25 |
Укажите точку пересечения плоскости 10x + y + 5z +10 = 0 с осью Oz. |
||||||||||||||||
|
|
1) A(0;0;-2); |
|
2) B(0;0;5); |
3) C(-2;0;2); |
4) D(0;0;2). |
|
||||||||||
9
№26
№27
№28
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
Найдите расстояние от точки А(1;2;-1) до плоскости 2x + 3y + 6z = 0 .
Укажите уравнение сферы с центром в точке О(0;1;0).
1) x 2 + y 2 + 2 y + z2 = 0 ; |
2) x 2 + y 2 - 2 y + z2 - 99 = 0 ; |
3) x 2 + y 2 - 2 y + z 2 = 0 ; |
4) x 2 + y2 + y + z2 - 99 = 0 . |
Укажите соответствие между названием и уравнением поверхности.
1) сфера; |
2) параболоид; |
3) гиперболоид; |
||
4) конус; |
5) эллипсоид; |
6) цилиндр. |
||
a) x + y2 + z2 = 1; |
b) x2 + y 2 + z2 = 1; |
c) x 2 + y 2 - z2 = 0 ; |
||
d) x2 - y2 - z2 = 1; |
е) x 2 + 4 y 2 + 9z2 = 9 ; |
f) x2 + y2 = 1. |
||
4. Предел и непрерывность
Найдите количество целых чисел, принадлежащих области определения функции
y = |
5 - x2 |
. |
|
||
|
x |
|
Укажите такую функцию g(x) , чтобы сложная функция g( f (x)) была четной, если
f (x) = sin x . |
|
|
|
|
|
|
1) g(x) = x -1; |
2) g(x) = 5x2 + 7 ; |
3) g(x) = 5x ; |
4) g(x) = |
3 |
+ 2 . |
|
x4 |
||||||
|
|
|
|
|
Укажите функцию, областью определения которой является промежуток (-5; +5) .
1 |
; |
2) y = |
|
; |
3) y = log2 (25 - x2 ) ; |
4) y = |
x - 5 |
. |
||
1) y = 3 |
|
x2 - 5 |
||||||||
x-5 |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 5 |
||
Найдите область значений для функции y = 
x2 + x - 6 + 5 . Укажите верные утверждения:
Для функции f (x) заданной на отрезке [- 4;6] графиком …
…
1) среди значений функции f (x) на отрезке [2;6] есть наибольшее и наименьшее значение;
2)на промежутке [-1; 2] функция f (x) убывает;
3)при любом значении x выполняется неравенство f (x) < 2 ;
4)уравнение f (x) = 1 имеет три корня.
4
æ 1 öx+1
Найдите lim ç ÷ .
x®-1-0 è 3 ø
Найдите пределы
1) lim |
5x3 + x - 8 |
; |
2) lim |
2x 4 |
+ 3x |
; |
3) lim |
3x 2 + 4 |
. |
|||||
x |
3 |
- 2x -1 |
x |
3 |
- 4 |
6x |
7 |
- 5x + 2 |
||||||
x®¥ |
|
|
x®¥ |
|
|
x®¥ |
|
|
||||||
10