- •Требования к выполнению и оформлению контрольных работ
- •1. Линейная алгебра
- •2. Векторная алгебра
- •3. Аналитическая геометрия
- •4. Предел и непрерывность
- •5.1. Дифференциальное исчисление
- •5.2. Интегральное исчисление
- •6. Функциональный анализ
- •7. Функции нескольких переменных
- •8. Комплексный анализ
- •9. Дифференциальные уравнения
- •10. Ряды
- •11. Гармонический анализ
- •12. Дискретная математика
- •13. Теория вероятностей
- •14. Математическая статистика
- •15. Абстрактная алгебра
- •16. Численные методы
- •17. Дифференциальная геометрия
- •18. Экономико-математические методы и модели
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Уральский государственный лесотехнический университет
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Контрольные задания для студентов заочной формы обучения
Екатеринбург
2014 г.
1
|
|
Содержание тем по дисциплине математика |
|
Требования к выполнению и оформлению контрольных работ ........................................ |
3 |
||
1. |
Линейная алгебра.............................................................................................................. |
4 |
|
2. |
Векторная алгебра ............................................................................................................ |
7 |
|
3. |
Аналитическая геометрия ................................................................................................ |
7 |
|
4. |
Предел и непрерывность ................................................................................................ |
10 |
|
5.1. Дифференциальное исчисление .................................................................................. |
11 |
||
5.2. Интегральное исчисление ........................................................................................... |
12 |
||
6. |
Функциональный анализ ................................................................................................ |
13 |
|
7. |
Функции нескольких переменных ................................................................................. |
14 |
|
8. |
Комплексный анализ ...................................................................................................... |
15 |
|
9. |
Дифференциальные уравнения ...................................................................................... |
17 |
|
10. |
Ряды............................................................................................................................... |
18 |
|
11. |
Гармонический анализ ................................................................................................. |
19 |
|
12. |
Дискретная математика ................................................................................................ |
21 |
|
13. |
Теория вероятностей .................................................................................................... |
23 |
|
14. |
Математическая статистика ......................................................................................... |
26 |
|
15. |
Абстрактная алгебра ..................................................................................................... |
27 |
|
16. |
Численные методы........................................................................................................ |
28 |
|
17. |
Дифференциальная геометрия ..................................................................................... |
29 |
|
18. |
Экономико-математические методы и модели ........................................................... |
30 |
|
Литература .......................................................................................................................... |
33 |
||
Приложения ........................................................................................................................ |
34 |
||
|
Приложение 1. ....................................................................................................................................... |
34 |
|
|
Приложение 2. ....................................................................................................................................... |
35 |
|
2
Требования к выполнению и оформлению контрольных работ
Контрольные работы предназначены для студентов всех специальностей заочной
формы обучения.
Для того чтобы определиться с выбором тем, входящих в контрольные работы в
соответствующем семестре, необходимо:
1)знать номер специальности, по которой происходит обучение(указан в зачетной книжке);
2)в таблице (см. Приложение 1) выбрать строку, соответствующую номеру специальности;
3)в столбце, с номером нужного семестра, определить номера контроль-
ных работ и входящих в них тем.
Контрольная работа выполняется индивидуально в рукописном варианте.
Требования, предъявляемые к оформлению контрольной работы:
1)титульный лист заполняется в установленной форме (см. Приложение 2);
2)в тексте контрольной обязательно указывается номер и название темы;
3)нумерация задач в соответствующей теме должна быть сохранена;
4)решение каждой задачи приводится в развернутом виде.
Рекомендуем сохранять на руках дубликат контрольных работ, в связи с необхо-
димостью его использования при подготовке к экзаменам и зачетам, а также на случай утери контрольной при пересылке.
3
№ 1
№ 2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
1. Линейная алгебра
|
|
|
|
|
æ -a11 |
a12 |
a13 |
ö |
|
|
Найдите определитель матрицы |
ç |
-2a |
2a |
2a |
÷ |
, если определитель |
||||
|
|
|
|
|
ç |
21 |
22 |
23 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
-a |
a |
a |
÷ |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
è |
31 |
32 |
33 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a21 |
a22 |
a23 |
= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.
|
6 |
1 |
5 |
|
|
1 |
5 |
2 |
|
|
4 |
6 |
4 |
|
|
5 |
2 |
1 |
|
1) |
1 |
3 |
0 |
; |
2) |
3 |
15 |
4 |
; |
3) |
0 |
3 |
3 |
; |
4) |
0 |
-4 3 |
. |
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
2 |
10 |
4 |
|
|
0 |
0 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
a) -20; |
b) 60; |
c) -30; |
d) 30; |
e) 0. |
Укажите верные утверждения: |
|
|
||
Определитель матрицы остается без изменения, если…
1)переставить местами две строки;
2)транспонировать матрицу;
3)прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число;
4)умножить некоторую строку на любое число.
Укажите алгебраическое дополнение элемента a31 для матрицы
æ 0 |
1 |
-2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ç |
-1 |
3 |
4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
1 |
0 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) A = - |
|
|
1 -2 |
|
; |
2) A = - |
|
4 3 |
|
; |
3) A = |
|
-1 3 |
|
; |
4) A = |
|
1 -2 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
31 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
31 |
|
|
|
-2 |
1 |
|
|
31 |
|
1 0 |
|
|
31 |
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдите размерность матрицы В , если при умножении матрицы A размерности |
||||||||||||||||||||||||||
2 ´3 на матрицу В , получилась матрица С размерности 2 ´9 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
2 |
-3 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдите ранг матрицы A = |
ç |
3 |
6 |
-9 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ç |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
8 |
-12 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r (A) =1.
1) det (A) = 5 ; |
2) det (A) = 0 ; |
3) det (A) =1; |
|
4) det (A) = 4 . |
|
|
|
|
|
æ2 |
4 ö |
æ3 |
5 |
ö |
|
Решите матричное уравнение A + X = 2B , если A = ç |
1 |
÷ |
и B = ç |
2 |
÷ . |
||
|
|
è |
5 ø |
è1 |
ø |
||
æ9 |
-1ö |
æ2 |
6 |
ö |
|||
Найдите det (BT × A), если A = ç |
2 |
-3 |
÷ |
и В = ç |
1 |
3 |
÷. |
è |
ø |
è |
ø |
||||
4
№ 10
№ 11
№12
№13
№14
№15
|
|
|
|
|
|
æ2 |
3 |
|
1 ö |
|
|
|
||
Укажите, какие произведения определены для матриц A = ç |
0 |
5 |
|
2 |
÷ и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|||
æ 2 |
4 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
1 |
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) ABT ; |
|
2) AB ; |
3) BAT ; |
4) AT BT ; |
5) BA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -1 |
5 ö |
, |
æ2 |
0 ö |
||||
Укажите соответствие между произведениями матриц A = ç |
-3 |
4 |
÷ |
В = ç |
3 |
5 |
÷, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
||||
æ-2 3 ö
С= ç ÷ и результатом его вычисления.
è 1 6 ø
1) A × B ; |
|
|
2) A ×С ; |
|
3) B ×С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
æ 5 15 ö |
; |
|
b) |
æ-4 6 ö |
|
æ13 25 ö |
; |
æ 7 27 ö |
; |
æ -2 10 ö |
|||||||||
a) ç |
÷ |
|
ç |
|
|
÷ ; |
c)ç |
6 |
÷ |
d) ç |
÷ |
e)ç |
÷. |
||||||
è20 |
30 ø |
|
|
|
è |
-1 39 ø |
|
è |
20 ø |
|
è10 |
15 ø |
|
è |
-18 35ø |
||||
Найдите сумму элементов матрицы B × A , расположенных на её главной диагонали, |
|||||||||||||||||||
|
æ3 |
|
0 |
-1ö |
|
|
æ 2 |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и |
В = |
ç |
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если A = ç |
|
1 |
-2 |
÷ |
ç |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
è1 |
|
ø |
|
|
ç |
-1 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Укажите соответствие между данными матрицами и матрицами, обратными к ним.
|
|
æ 1 2 ö |
|
|
|
|
æ5 -1ö |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 2 ö |
|
|
|
|
||||||||||
1) A = ç |
-5 |
÷; |
|
|
|
2) A = ç |
4 0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
3) A = ç |
÷ . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
è |
-8ø |
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è8 6 |
ø |
|
|
|
|
|||||||
a) A-1 |
|
æ -4 |
-1 ö |
; |
|
b) A-1 = |
æ |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
; |
c) A-1 |
æ -0,6 |
0, 2 ö |
; |
||||||||||
= ç |
0,5 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
÷ |
= ç |
0,8 |
-0,1 |
÷ |
|||||||||||||||
|
|
|
è 2,5 |
ø |
|
|
|
|
|
è -2,5 |
|
ø |
|
|
è |
ø |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- |
|
1 |
|
- |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
æ 0 |
0,25ö |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d) A |
-1 |
|
; |
e) A |
-1 |
= ç |
18 |
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= ç |
|
÷ |
|
5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
è -1 |
1,25 ø |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
æ4 |
-5 |
4 |
ö |
|
Найдите значение a , при котором обратная матрица к матрице A = |
ç |
6 |
5 -a |
12 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
|
ç |
1 |
3 |
2 |
÷ |
|
è |
ø |
|||
не существует.
æ 4ö
Найдите собственное значение l , если вектор X = ç ÷ является собственным век-
è1 ø
æ5 |
4 |
ö |
|
тором матрицы A = ç |
1 |
2 |
÷ . |
è |
ø |
||
5
№ 16
№ 17
№18
№19
№ 20
№ 21
№ 22
Укажите формулу, по которой могут быть найдены собственные значения собственных векторов линейного преобразования, заданного в некотором базисе мат-
|
|
|
æ1 |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рицей A = ç |
4 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
è3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
1+ l |
2 |
|
|
= 0 ; |
2) |
|
3 |
1 |
2 + l |
|
= 0 |
; |
3) |
|
3 |
1 |
2 - l |
|
= 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
4 + l |
|
|
|
|
|
|
+ l |
4 |
|
|
|
|
|
- l |
4 |
|
|
|
||
4) |
|
1- l |
2 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
4 - l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите верные утверждения:
При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если …
1)один из столбцов матрицы А является линейной комбинацией остальных;
2)столбцы матрицы А линейно независимы;
3)определитель матрицы А не равен нулю;
4)строки матрицы А линейно зависимы.
Укажите решение матричного уравнения XА = В , если A и В – обратимые квадратные матрицы одного порядка.
1) B-1 A-1 ; 2) BA-1 ; 3) A-1B ; 4) A-1B-1 .
|
|
|
|
|
|
ì |
2x + x |
= 4, |
|
Укажите соответствие между определителями системы í |
1 2 |
|
и их значе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
î4x1 +5x2 = 6 |
|
||
ниями. |
|
2) D1 ; |
3) D2 . |
|
|
|
|||
1) D ; |
|
|
|
|
|||||
a) 2; |
b) -4; |
|
c) 6; |
d) 14. |
|
|
|
||
Укажите, какие переменные в системе уравнений |
|
|
|
||||||
ì3x + 3x |
- x |
+ x |
- 4x |
= 0, |
|
|
|
||
ï |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
í |
x2 -3x3 -3x4 - x5 = 0, |
|
|
|
|||||
ï |
4x3 |
+ 2x4 + 4x5 = 0 |
|
|
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|||||
можно считать независимыми (свободными).
1) x4 ; |
2) x4 , x5 ; |
3) x1, x2 , x3 , x4 , x5 ; |
4) x1, x2 , x3 . |
Укажите верное утверждение: |
|
||
Квадратичная форма двух переменных 3x2 + 2xy + 2 y2 является…
1) неположительно определенной; |
|
|
|
|
|
2) |
знаконеопределенной; |
|
|
|
|
3) |
отрицательно определенной; |
|
|
|
|
4) |
положительно определенной. |
æ 1 |
-2 |
|
|
Укажите квадратичную форму, соответствующую матрице |
ö |
||||
ç |
-2 |
3 |
÷ . |
||
|
|
è |
ø |
||
1) x2 - 4xy +3y2 ; 2) x2 - 2xy +3y2 ; 3) 3x2 - 4xy + 3y2 ; |
4) x2 + 4xy -3y2 . |
||||
6