2.5 Передаточные механизмы

Передаточные механизмы передают движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел. На рисунке 14 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.

Рис.14

На рисунках 14,а и 14,б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения Vc=ω1⋅ r1=ω2⋅ r2, т.е.

ω1/ω2=r2/r1

На рисунке 14,а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 14,б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.

На рисунке 14,в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек A и B , принадлежащих шкивам:

VA=ω1⋅ r1=VB=ω2⋅r2, ω1/ω2=r2/r1. На рисунке 14,г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:

VA=VC=ω⋅r, ω=VA/r

Рис.15

На рисунке 15 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.

VC=ω1⋅r1=ω2⋅d, ω1/ω2=d/r1

3. Динамика.

3.1 Сила инерции материальной точки.

Материальная точка (тело) всегда оказывает сопротивление изменению состояния движения - изменению величины или направления скорости. Сила, с которой точка сопротивляется изменению движения, называется силой инерции материальной точки. Сила инерции направлена противоположно ускорению точки и равна массе, умноженной на ускорение. В криволинейном движении сила инерции состоит из двух составляющих: касательной, направленной противоположно скорости при ускоренном движении и по скорости при замедленном движении, и нормальной (центробежной), направленной противоположно центростремительному ускорению и равной массе, умноженной на центростремительное ускорение: Qц = m*an.

Рис.16

В круговом движении точки центробежная сила инерции направлена по радиусу от центра (фиг. 48) и равна

Qц=mRω2=0,00112GRn2 (G в кг, R в м, n в об/мин.)

В равномерном движении точки имеется только центробеж­ная сила инерции. Сила инерции тела равна массе тела, ум­ноженной на ускорение центра тяжести тела: Q= m*ac.

Сила инерции тела = Масса * Ускорение центра тяжести. Сила инерции вращающегося тела передается на подшипники, вызывая дополнительную нагрузку на них.

3.2 Принцип Даламбера

Важнейшим из принципов механики является принцип Даламбера. С принципом Даламбера тесно связан метод кинетостатики — способ решения задач динамики, в котором динамические уравнения записываются в форме уравнений равновесия. Метод кинетостатики широко применяется в таких общеинженерных дисциплинах, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, в других областях прикладной механики. Принцип Даламбера результативно используется и внутри самой теоретической механики, где с его помощью созданы эффективные способы решения задач динамики.

Принцип Даламбера для материальной точки.

Пусть материальная точка массы m совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы Fa и реакции связи R (рис. 17).

Рис. 17.

Определим вектор численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор Fu имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки.

Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Легко видеть, что принцип Даламбера эквивалентен основному уравнению динамики, и, наоборот, из основного уравнения динамики следует принцип Даламбера. Действительно, перенося в последнем равенстве вектор Fu в другую часть равенства и -Fu заменяя на ma, получаем основное уравнение динамики. Наоборот, перенося в основном уравнении динамики член та в одну сторону с силами и используя обозначение –ma= Fu, получаем запись принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки, будучи вполне эквивалентным основному закону динамики, выражает этот закон в совершенно иной форме — в форме уравнения статики. Это дает возможность пользоваться при составлении уравнений динамики методами статики, что и называется методом кинетостатики.

Метод кинетостатики особенно удобен при решении первой задачи динамики.

Пример. Из наивысшей точки гладкого сферического купола радиуса R соскальзывает материальная точка М массы m с пренебрежимо малой начальной скоростью (рис. 18). Определить, в каком месте точка сойдет с купола.

Рис. 18.

Решение. Точка будет двигаться по дуге некоторого меридиана L. Пусть в некоторый (текущий) момент радиус ОМ составляет с вертикалью угол . Раскладывая ускорение точки а на касательное ()и нормальное представим силу инерции точки также в виде суммы двух составляющих:

Касательная составляющая силы инерции имеет модуль =mdv/dt и направлена противоположно касательному ускорению, нормальная составляющая – модуль m/R и направлена противоположно нормальному ускорению.

Добавляя эти силы к фактически действующим на точку активной силе mg и реакции купола N, составляем уравнение кинетостатики

Проектируя это векторное уравнение на направления касательной и главной нормали, получаем два уравнения кинетостатики в скалярной форме:

Из второго уравнения находим

Реакция N окончательно найдется после того, как будет определена величина v и подставлена в это выражение.

Для определения v служит первое уравнение, которое является дифференциальным уравнением и требует интегрирования. Однако можно избежать интегрирования, если воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. Применяя эту теорему для точки М на участке траектории и учитывая, что T=m/2, =m/2=0, A=mgR(1-cos) (работу совершает только сила тяжести), получаем:

Отсюда находим

и далее

В момент отделения от купола реакция N равна нулю. Следовательно, точка сойдет с купола при