Основы надежности систем электроснабжения
.pdfi-п-р>)т+1=фъ-
После логарифмирования получаем
т |
M z ® |
1 |
, , |
I, |
|
i = |
1 = |
||
|
l g [ l - A ] |
|
lg[l-0,9J |
|
т.е. каждый основной элемент необходимо продублировать,Уа всего резервных элементов будет 10.
Таким образом, при раздельном резервировании в данном случае
можно для той же надежности использовать в 6 раз меньше резерв- |
|||
ных элементов. |
|
|
Т |
|
Н |
||
|
|
||
7.5. Надежность систем со смешанным соединением |
|||
элементов |
Б |
|
|
В принципе оценка надежност |
|
м со смешанным соедине- |
|
|
й |
|
|
нием элементов, т.е. с последовательно-параллельными или парал- |
|||
|
систе |
|
|
лельно-последовательными связями, может осуществляться следую- |
|||
щим образом. Если система состоитриз п элементов, то, учитывая, |
|||
что каждый элемент може находиться в двух состояниях (работо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
способном или неработоспособном), система может пребывать в |
||||||
ГУ Пп |
состояниях. |
т |
||||
С = 2 |
|
|
|
|||
Все |
|
и |
|
|||
множеств состояний системы разделяется на два подмно- |
||||||
|
|
|
з |
|
|
|
жества: работоспособное и неработоспособное. Затем определяется |
||||||
|
являетс |
|
системы в работоспособном состоянии, |
|||
вероятность пребыванияо |
||||||
что и |
|
|
пя конечной целью расчета. |
|||
Р |
|
|
|
|
||
Пример 7.6. Определить вероятность безотказной работы в течение 4 лет параллельно-последовательной системы, схема замещения которой по надежности представлена на рис. 7.9.
Рис. 7.9
60
Интенсивность отказов всех элементов одинакова; |
—... — Л^ — |
= 0,01 год"1. |
|
Решение. Множество всех состояний системы равно С = 24 = 16, из которых 9 включают как минимум 2 находящихся в работоспособном состоянии элемента и образуют работоспособное подмножество. Таким образом, вероятность безотказной работы системы описывается многочленом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
Рс (0 = Pi ( О л (0?2 (0?4(0 + Л (0Р4 (0?2 (0?з (0 + Рг ( О л (0?i (0зч(0 + |
||||||||||||||
+ />2(')р4(0?1(0дз(0 + |
Р1(0РЗ(0Р4(092 |
(0 + М О Л О Р Д ОУЫ О + |
||||||||||||
+л (0л СОл (0?4(О+л |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|||||
|
|
(0^4(0?i (0 + А (0^2 (Орз (0/>4 (О- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
Вероятности безотказной работы и отказов /-го элемента в тече- |
||||||||||||||
ние 4 лет равны соответственно: |
|
й |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|||
р (4) = ехр(-0,01-4) = ехр(-0,04) = 0,9608; |
|
|
||||||||||||
|
q (4) = 1 - р |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(4) = 1 - 0,9608 = 0,0392 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность безотказнойработы системы в целом |
|
|
|
|||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
||
Р (4) = 4-0,9608 |
2 |
|
+ 4-0,9608 |
• 0,0392 + 0,9608 |
= 0,997. |
|||||||||
|
• 0,0392и |
|
|
|||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведенные аналогично примеру 7.6 выкладки для последова- |
||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно-параллельной системы из четырех элементов системы, приведенной на рис. 7.10, показывают, что вероятности безотказной работы этих смешанных систем одинаковы и для случая равнонадеж-
ных элементов, когдаp(t) = P\(t) |
= ... = p^t) |
и q(t) = qx(t) = ... = qn(t), |
|
определяетсяР |
выражением |
|
|
|
Pcif) = P2(t)[p\t) |
+ 4p(t)q(t) |
+ 2q\t)]. |
61
Рис. 7.10
Однако подобному подходу к расчету надежности смешанных систем при большом числе элементов присущи значительные труд-
ности, заключающиеся в том, что выделение работоспособных и |
|
У |
б |
неработоспособных состояний произвести не просто. Поэтому |
|
этом случае чаще используют метод свертки, состоящий в преоб- |
|
|
Т |
разовании исследуемых сложных систем со смешанным соединени- |
|
ем элементов в более простые схемы, для которых имеются не- |
|
Н |
|
сложные аналитические выражения для расчета надежности. |
|
Б |
|
Предполагая, что восстановление отказавших элементов не про- |
|
изводится, покажем применение метода свертки на следующем при- |
||||||||
мере. Исходная схема представлена найрис. 7.11. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
Рис. 7.11 |
||
Р |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод свертки состоит из нескольких этапов. |
||||||||
На первом этапе рассматриваются все параллельные соединения, которые заменяются эквивалентными элементами.
После первого этапа преобразований схема принимает следующий вид (рис. 7.12).
62
Рис. 7.12
Вероятности безотказной работы эквивалентных элементов в схе-
ме на рис. 7.12 определяются на основании формул (6.4), (6.5), (6.10): |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|
1 |
~<1п |
Р\ъ |
=1 |
-?13 |
Н |
У |
|
Pl2 = |
|
|
=1-97^8- |
||||
|
|
|
|
Б |
|
|
|
На втором этапе рассматриваются все последовательные соединения элементов, которые заменяются эквивалентными элементами.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
После второго этапа преобразований схема принимает вид (рис. 7.13). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
и |
оРис. 7.13 |
|
||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
||
Вероятности безотказной работы эквивалентных элементов в |
|||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
схеме (рис. 7.13): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
На третьем этапе вновь рассматриваются все параллельные со- |
|||||||||
Р |
|
Ри |
= РпР\3> |
Р15=РбР9- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единения, которые заменяются эквивалентными элементами. Ре- |
|||||||||
зультат третьего этапа (рис. 7.14). |
|
|
|||||||
|
|
11 |
|
|
|
16 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.14 |
|
||
63
Вероятность безотказной работы эквивалентного элемента в схеме (рис. 7.14):
Р\6 =1-ЯыЯ\5-
На четвертом этапе определяется вероятность безотказной работы всей системы:
РС = PllPlbPlO- У
Метод сверки является весьма эффективным методомТопределения показателей надежности неремонтируемых систем, т.е. невосстанавливаемых последовательно-параллельных схем. Число эле-
ментов мало влияет на сложность проведения расчетов, в основном |
|
происходит увеличение числа этапов расчета. |
Н |
Б |
|
7.6. Приближенный метод преобразования треугольника |
|
в звезду и обратно |
|
й |
|
На практике нередко встречаютсяисистемы, в которых схемы со- |
|
единения элементов в надежностном смысле не могут быть сведены |
|
|
р |
о |
|
т |
|
к последовательно-параллельным. Это системы, содержащие так |
|
называемые мостиковые схемы, т.е. системы, содержащие элементы |
|
типа треугольник и звезда. Такие схемы встречаются, например, в
схемах электрических соединений подстанций и распределитель- |
||||
ных устройств. |
|
и |
||
з |
||||
|
|
|||
Имеется ряд методов, позволяющих приближенно рассчитывать |
||||
|
о |
|
||
надежность таких систем. К ним относится метод преобразования |
||||
треугольникапв звезду и обратно. В этом случае в качестве показа- |
||||
телей надежности используются вероятности отказов элементов. |
||||
е |
|
|
|
|
Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преоб- |
||||
разованияР треугольника в звезду и обратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы. Так как обычно вероятности безотказной работы элементов близки к единице, то целесообразно использовать вероятности появления отказов.
64
Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.
Вначале рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 7.15 и 7.16). Вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды q^ + q2q^ ~ Ч&гЧъ •> а Дл я треугольника
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
Ч\гЧъ\- Аналогично можно записать равенства и для двух других |
|||||||||||||
возможных вариантов соединения точек. |
|
Т |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.15 |
|
составит |
|
|
|
Рис. 7.16 |
|
||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
з |
|
|
|
ь следующую систему уравнений: |
||||||
Таким образом, можно |
|
|
|
||||||||||
|
|
о |
|
|
|
-Ч\Ч1Ъ=Ч\гЧгъ |
|
|
|||||
|
п |
Ях+ЯгЯз |
|
|
|||||||||
|
Яг+ЧъЧ\-<1г<1ъ<1\=Ч7ъ<1п> |
|
|
||||||||||
е |
|
|
|
||||||||||
|
Ъ |
+ ЪЪ |
-ЧзЫг |
= ЧъхЧгъ- |
|
|
|||||||
Р |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая |
|||||||||||||
произведениями q t q j |
и |
|
qiqjqr - |
вероятностями более |
высокого |
||||||||
порядка малости, чем |
qL, |
получим следующие приближенные вы- |
|||||||||||
ражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч\*Я\гЯг\> |
|
|
Чг^ЧгъЧхъ |
|
Чъ^ЧъхЧгъ- |
(7-11) |
||||||
65
Перемножим соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (7.11) и разделим на третье равенство. Тогда
Я\Яг „ |
ЯиЯзхЯгзЯи |
|
|
(7.12) |
|||
Яз |
|
ЯзШз |
|
|
|
|
|
Из (7.12) после сокращения одинаковых сомножителей имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
Т |
(7.13) |
|
И аналогично получаем |
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(7.14) |
||
|
|
и |
Б |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Если предположить, что |
р |
|
|
|
|
|
|
|
а 3 в схеме звезды является свобод- |
||||||
ной, то соответствующие вероятности появления отказов в схемах |
||||||||
звезды и |
|
|
т |
соответственно |
равны |
для звезды: |
||
треугольника буду |
||||||||
Я\ + 42 ~ Я\Я2 '•> |
и |
|
Яз+Я\~ ЯзЯ\; Дл я |
треугольник |
||||
Я2+Яз~точкЯ2Я3; |
||||||||
<712(Ягз + |
Чъ\ |
~ЧгъЧз\)'" |
Чгъ(b\ |
+Чп |
~Чз№г)> |
Чъ\(Чп + Чгг ~ Я12Я |
||
|
|
|||||||
Пренебрегая в этих выражениях величинами более высокого поряд- |
|||
|
п |
(произведения qt qj), получим следующие при- |
|
ка малости, чем qt |
|||
е |
|
|
|
ближенны зависимости:о |
|
||
Р |
|
Ях+Яг^ЯпЯгз+ЯиЯзъ |
|
|
|
|
|
|
|
Яг+Яъ™ЯгъЯъ\+ЯпЯ\ъ |
(7.15) |
|
|
Яз+Яу *ЯЗ\Я12+ЯЗ\Я23- |
|
Прибавив к левой и правой частям первого уравнения в системе (7.15) соответственно левую и правую части третьего уравнения и вычтя соответственно левую и правую части второго уравнения, получим выражение Ях^ЯпЯзХ' которое было получено ранее
66
(см. первое уравнение в системе (7.11)). Таким образом, приближенные формулы (7.11), (7.13), (7.14) могут быть использованы в процессе преобразования схемы треугольник в звезду и обратно.
7.7. Приближенный метод исключения элементов
Сущность приближенного метода расчета надежности мостико-
затем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:
вых схем методом исключения элементов заключается в том, что в структурной схеме выбираются один или несколько элементовУ и Т
1) предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны
(вероятность безотказной работы элементов равна единице); |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
2) предполагается, что выбранные элементы абсолютно нена- |
|||||||||||||||
дежны (вероятность безотказной работы элементовНравна нулю). |
|||||||||||||||
В первом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|||
случае две точки системы, к которым подключается |
|||||||||||||||
элемент, соединяются постоянной |
связью, во втором - |
между эти- |
|||||||||||||
ми точками отсутствует |
|
|
|
|
|
и |
|
полученных |
|||||||
какая-либо связь. Для двух |
|||||||||||||||
структур определяются вероятност |
безотказной работы, соответст- |
||||||||||||||
венно равные |
Ртт |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|||||
и Ртт . |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
п |
|
|
|
||||
Затем определяется средневзвешенноер |
значение вероятностей без- |
||||||||||||||
отказной работы исключаемых |
|
элементов |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
PcV=-LPi> |
|
|
|
|||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где pt - вероятность безотказной работы г'-го исключаемого эле- |
|||||||||||||||
мента; п - число исключаемых элементов. |
|
|
|||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно вероятность безотказной работы системы опреде- |
|||||||||||||||
ляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
РС = Р т т |
+ (Рпах - Рmin )Рср • |
(7 -1 6 ) |
|||||||||
Очевидно, |
если |
|
р с р |
|
= 1 |
(абсолютно |
|
надежные исключаемые |
|||||||
элементы), то |
Р с = Р т а х |
. Если |
р с р = 0 |
|
(абсолютно |
ненадежные |
|||||||||
элементы), то |
Р(- = Ртт . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
67
Особенности метода исключения элементов:
-с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;
-с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;
-в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать
элементы, имеющие высокую надежность.
Пример 7.7. Определить приближенно вероятность безотказнойУ работы системы, представленной на рис. 7.17, двумя методами: преобразованием треугольника в звезду и исключениемТэлементов.Н
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
Рис. 7.17 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятности |
безотказной работы |
всех |
элементов одинаковы: |
||||||||||||
3, 5, взвезду с элементами |
6, 7, 8 (см. рис. 7.17). Согласно (7.11) |
||||||||||||||
р i= р = 0,9.о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п. Преобразуем треугольник, образуемый элементами 1, |
|||||||||||||||
рассчитываем вероятности отказов элементов звезды (рис. 7.18) |
|||||||||||||||
q |
6 |
= |
4l |
= <7 « q |
2 |
» (1 - р) |
2 |
= (1 - |
0,9) |
2 |
=0,01; |
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Рб=Рт=Р%= |
°>" • |
|
|
||||||
68
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.18 |
Н |
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя формулы для последовательно-параллельноТсоединен- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
ных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы |
||||||||||||
|
|
Рс = Ы1 |
|
|
|
й |
= |
|
||||
|
|
- (1 - Р2Р7Х1 |
~ Р\Ръ)] |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
= 0,99[l - (1 - 0,9 • 0,99)(1 - 0,9 • 0,99)] = 0,9782 . |
|||||||||||
Решим этот же пример |
|
методо |
м исключения элементов. В каче- |
|||||||||
|
|
|
|
|
Поэтом |
|
|
|
|
|
||
стве исключаемого выберем элементр5. Рассмотрим две структуры. |
||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
В первой из них в месте расположения элемента 5 будет короткое |
||||||||||||
замыкание (рис. 7.19). |
|
|
у получим |
|
|
|
||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
о |
|
|
2 |
|
|
1 - ( 1 - 0 , 9 ) |
= 0,9801. |
|||
|
= |
1 - 0 - р ) |
|
|
||||||||
|
п |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
шах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.19 |
|
|
|
||
Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 7.20).
69