Примеры видов линий.
1.Простейшая линия
-
прямая;
-
отрезок;
-
луч;
-
окружность (в силу математического определения линии);
2.Элементарная линия
-
полуокружность с концами : она гомеоморфна отрезку;
-
синусоида , заданная в системе координат уравнениями: , где . Эти уравнения устанавливают гомеоморфизм между множеством и синусоидой.
3. Гладкие линии
-
Уравнения ,
Определяют синусоиду на плоскости . Правые части уравнений синусоиды имеют в непрерывные производные любого порядка: и условие (2) выполнено => синусоида – гладкая линия класса;
4.Кусочно-гладкие линии.
-
Циклоида, определяемая уравнениями , где . Но она не является гладкой т.к. Ранг (2) нарушено.
Y
x
Касательная.
Теорема 1.29 В каждой точке гладкой линии заданной уравнением ,существует касательная прямая, которая определяется вектором .
Доказательство:
1). Вектором - направляющий вектор секущей .
2). Устремим к нулю. , тогда секущая прямой - направляющий вектор касательной.
3). Рассмотрим другую параметризацию данной кривой , получаем по условию гладкости. То - направляющий вектор касательной.
Параметризация кривой.
Кривая и числовой промежуток
Зададим
Определение 1.30 Гомеоморфизм (тот или иной)- называется параметризацией кривой, так как он порождает эту линию.
Так как одну и туже линию можно задать различными гомеоморфизмами, то значит, что одна и та же линия задается различной параметризацией.
Схема изменения параметра линии.
- Вводится числовой промежуток
- Задается не который гомеоморфизм h переводящий в ,
- Через новый
- В уравнении линии подставляется полученное выражение
Если кривая гладкая, то функция должна быть дифференцируема в промежутке ; должна иметь первую производную отличную от нуля; линия при новой параметризации должна принадлежать к тому же классу что и при старой параметризации (иметь непрерывные производные до порядка включительно старой параметризации) водную отличную от нуля; линия при новой параметризации должна принадлежать к тому же классу, что и пр).