ГОСЫ / вопрос 14 / Лекция 2

Лекция №2

Касательная к линии. Естественная параметризация и длина дуги.

Рассмотрим некоторую линию в прямоугольной системе координат в Е₃.

-гладкая линия класса С^к.

rang (x(t),y(t),z(t))=1

M₀ M_{1 0}

MM₁=r(t+∆t)- r(t)

Терема:2.1. Каждой точки М гладкой линии класса С^к заданной векторным уравнениям существует касательная, которая определяется т.М и направляющим вектором .

Доказательство:

1). Вектором - направляющий вектор секущей ММ₁.

2). Устремим ∆t к нулю. секущая прямой -направляющий вектор касательной.

3). Рассмотрим другую параметризацию данной кривой ,получаем по условию гладкости .

То

Естественная параметризация кривой

Определение:2.2. Параметризация S регулярной линии, называется естественной, если векторная функция R=R(S), заданная на промежутке I₀ и определяющая кривую в этой параметризации обладает свойством

Покажем что для всякой регулярной кривой существует естественная параметризация . Пусть S естественная параметризация линии L, тогда существует некоторая функция s=s(t) выражающая естественный параметр через произвольный параметр s’=s’(t)0, по определению допустимой замены параметра. Будем считать что s’(t)>0существует функция ей обратная t=t^-1(s) –строго возрастающая. По естественному параметру l:R=R(S) по произвольному параметру l₁ : r=r(t). Если в записи кривой L в уравнение включить оба параметра R(S)=r(t(S))-получили следующую функцию. т.к S естественный параметр

. Из I₀I

Т.к функция s=s(t) является допустимой заменой параметра, то s’(t) >0 из = значит всегда существует допустимые изменения параметра осуществляющие переход от произвольной параметризации к естественной. переход от t к S.

Длина дуги является геометрическим обоснованием естественной параметризации. Определитель =1 – условие естественной параметризации.

Вектор является направляющим вектором касательной к линии в соответствующей т.М, называется единичным вектором касательной к линии и обозначается .

Если даны для линии две естественные параметризации S и S^* то они связанные соотношением S^*= и .

Кривизна и кручение линии в естественной параметризации.

Определение 2.3 Вектор называется вектором кривизны.Его длина обозначается и называется кривизной линии в точке М. На всей линии кривизна является функцией параметра S.

Определение 2.4. Число , где 0 называется радиусом кривизны в данной точке (по лемме 1.12)

Теорема 2.5. Для того чтобы связанная линия была простейшей, необходимо и достаточно чтобы кривизна была равна нулю в каждой точки линии.

Связной линией называется линия, состоящая из точек распределения, т.е r’(s)║ r’’(s).

Доказательство:

1). Пусть - простейшая (прямая), тогда : ₀ ,где

p и r₀ –постоянные векторы точки.

2). Пусть кривизна равна нулю, для любой точки из формулы кривизны

Параметрическое задание прямой

Определение 2.6. Прямая проходящая через т.М ║ (M,N) называется главной нормалью линии т.М.

главная нормаль касательной.

Определение 2.7. Вектор равный отношению называется единичным вектором главной нормали

Определение2.8. Прямая проходящая через т.М и вектор называется бинормалью линии в точке М. -единичный вектор бинормаль

По определению векторное произведение

Определение 2.9.. Четверка состоящая из т.М, векторов определяет прямоугольную систему координат (ортонормированный репер) и обозначается R_n называемый каноническим репером линии в т.М.

Определение 2.10. Плоскости, обратные: т.М,- соприкасающая плоскость, т.М, n,-нормальная плоскость т.М,-спрямляющая плоскость.

Т.к точка М подвижна то R_n тоже подвижен.

Соприкасающая плоскость является единственной плоскостью имеющая с кривой точку касания 2го порядка.

Определение 2.11. Фигура образованная тремя прямыми (М,n), (M,),(M,b) и тремя плоскостями называется сопровождающим трехгранником кривой .

Спрямляющая плоскость (М,) делит пространство, на два полу пространства. Одно из которых является полупространством вогнутости. Вектор n однозначно определяется кривой относительно естественного параметра, а вектор и могут иметь свои направления.