Правила дифференцированности для вектор-функции.

1.

2.

3.

4.

Лемма 1.15 (вектор функции постоянного модуля) Пусть в прямоугольнике задана функция постоянного модуля F(t)=a=const. Каждой точки промежутка вектор ортогонален производной найденной в этой точке.

Доказательство:

=

(1)

Продифференцируем равенство (1)

и ортогональны

Понятие линии. Виды линий.

Пусть в евклидовом трехмерном пространстве дана некоторая фигура . Если каждую точку этой фигуры сместить в каким-то образом, то получаем фигуру .Говорят, что получено преобразованием фигуры .

Определение 1.16 Преобразование фигуры называется непрерывным, если оно близкие точки фигуры переводят в близкие точки фигуре .

Определение 1.17 Преобразование фигуры называется топологическим, если обратное является непрерывным.

Определение 1.18 Преобразование фигуры называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности в каждой точке данной фигуре

Определение 1.19 Элементарной линией (кривой) называется фигура, которая гомеоморфная открытому отрезку.

Гомеоморфизм – отображение, обладающее 2-мя свойствами:

- биективное отображение

- и является непрерывной

Пример: Дуга – элемент, линии

Определение 1.20 Линией (кривой) называется фигура, выложенная из элементарных линий.

Определение 1.21 Кривая называется общей, если она получена локально- топологическим преобразованием какой-либо кривой.

Из определений линий следует изучение свойств фигур сводится к изучению свойств шагом (т. е в окрестности каждой точки)

Понятие линии связывается с траекторией движения некоторой материальной точки.

Векторное уравнение линии:

Параметрическое уравнение линий:

Определение 1.22 Точка М называется обыкновенной точкой линии с окрестностью этой точки является элементарной линией.

Различают два случая расположения обыкновенной точки:

1 случай. Если это пересечение гомеоморфно открытому отрезку (прямой). Такая точка называется внутренней.

2 случай. Если это пересечение гомеоморфно лучу. Такая точка называется граничной точкой или концом линии.

- внутренняя точка

- граничная точка

Определение 1.23 Если точка не является внутренней и граничной, то она называется особой или типологически особой.

М

- особая точка

Определение 1.24 Линия, состоящая из обыкновенных точек называется простой.

Определение 1.25 (достаточный признак обыкновенной точки). Если в данной точки производной одновременно не образуются в нуль то точка – обыкновенная точка линии.

Определение 1.26 Линия называется регулярной, если соответствующая функция дифференцируема на всей области определения и имеет первую производную не равную нулю.

Определение 1.27 Линия называется гладкой класса если соответствующая ей вектор функция дифференцируема на всей области определения до порядка и имеет отличную от нуля первую производную. Если то линия - гладкая.

Условие означает, что первая производная этих функций не обращается в нуль одновременно.

Определение 1.28 Линия называется кусочно-гладкой, если её область изменения параметра может покрыть не более как счетным множеством промежутков, внутри каждого из которых линия гладкая, а на концах условие гладкости может нарушаться.