Метод сечений.

Под действиями внешних нагрузок в теле возникают внутренние усилия. Для их определения будем использовать метод сечения или метод Розу:

1. Разрезаем мысленно тело сечением А.

2. Отбрасываем одну часть.

3. Действия отброшенной части заменяют системой внутренних сил.

4. Составляем уравнения равновесия отсеченной части, из которых находят внутренние усилия.

	Внутренние силы должны быть распределены по сечению так, чтобы деформированные поверхности сечения при совмещении двух частей тела полностью совпали. Такое условие носит название условия неразрывности деформаций.

Составляется уравнение равновесия:

P_1∙cos α +P_{2 ∙} cos γ – P_A=0. Из которого находят неизвестное Р_А.

Понятие о напряжениях.

Обозначим P – сила, F – площадь сечения.

Выделим в сечении бесконечно малый элемент площадью _ΔF, тогда среднее напряжение равно σ_ср=.Уменьшая _ΔF найдем испытанное напряжение.

Разложим напряжение р на составляющие σ и τ . Тогда полное напряжение можно найти:

р=

σ = p×cosα – нормальное напряжение.

τ =p×sinα – касательное напряжение.

Классификация внешних сил.

1. Сосредоточенные силы - нагрузки, прикладываемые по малой площади, обозначаем

P (H, кН, мН)

2. Распределенные нагрузки

а) равномерно распределенные по длине ɡ (н/м, кН/см)

b) Равномерно распределенные по площади ɡ (н/м ², кН/см²).

с) неравномерно распределенные по площади или по длине.

3. По времени действийнагрузки могут быть:

1. Постоянные – не меняют свою величину (вес перекрытия)

2. Временные – исчезают или появляются с течением времени ( вес людей на перекрытии).

4. По способу приложения:

1. Статические– прикладываются постепенно.

2. Динамические – прикладываются в течение короткого времени(удар).

Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Напряжение.

	Δℓ = ℓ1-ℓ – абсолютное удлинение. ε=– относительное удлинение (безразмерная величина). ε =×100% – (в процентах %). Δb=b-b1 – абсолютное сужение поперечного сечения. ε1=– относительное сужение поперечного сечения µ= ε1/ ε – коэффициент Пуассона

Например:

μ= 0,5 – для резины

μ=0,3 – для стали

μ=0 – для пробки

σ =–нормальное напряжение, где F–начальная площадь поперечного сечения стержня.

В1678 Роберт Гук заметил, что между напряжением и деформацией существует линейная зависимость:σ= Е×ε - закон Гука

где Е–модуль упругости материала, постоянное число для данного материала. Е=2,1×10⁶=2,1×10⁴

– закон Гука в другом виде.

Примечание: при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Я. Бернулли) – плоские сечения до деформаций остаются плоскими и после деформаций. Все волокна удлинняются одинаково.

Концентрация напряжений.

При осевом растяжении или сжатии нормальные напряжения распределяются равномерно в поперечном сечении призматических стержней. Если же в стержне имеется отверстие или выточка, то напряжения в сечении распределяются неравномерно: около отверстия или выточек появляется повышенное напряжение.

а =σ_max/σ _н – коэффициент концентрации напряжений.

σ_н = Р/А_н, где А_н (нетто) - площадь сечения в ослабленном месте.

Концентрация напряжения опасна для хрупких материалов, а в пластичных материалах после достижения σ_max=σ_{текучести}, напряжения дальше не растут, а увеличиваются напряжения в других точках поперечного сечения.

Напряжения и деформации при действии равномерно распределенной осевой нагрузки

Найдем напряжение и деформации в начале для сечения находящегося на расстоянии xот свободного конца.

-сила

При x=0;N=0;

При X=; q;

Переходим к определению деформаций.

Вначале найдем удлинение участка dx

- закон Гука (собственным весом участка пренебрегаем).

Удлинение участка (-x) получим если последнее выражение проинтегрируем от x до

- удлинение участка (-x)

X=0 тогда

X=тогда =0

f=f–стрела параболы

В свободном конце стержня перемещения можно определить по формуле

- площадь эпюры.

Если в качестве распределенной нагрузки служит плотность материала стержня ,то

(умножим числитель и знаменатель на А).

Пусть - собственный вес стержня.

-деформация от собственного веса.

Ранее получили что при растяжении стержня силой Р деформации равны .

Вывод:как видно деформации от собственного веса стержня получаются в 2 раза меньше деформации от силы Р.

Опытное изучение растяжение материалов. Диаграммы напряжений

Механические свойства материалов выявляются при испытании их под нагрузкой. Наиболее распространенным видом испытаний являются испытания на растяжение. Это объясняется тем, что мех. свойства мат-лов полученные при испытании на растяжение во многих случаях позволяют достаточно полно судить о поведении материалов при других видах деформации. С другой стороны испытания на растяжении легко осуществимы.

Для испытаний берут образцы стандартных размеров

-общая длина образца

Для стандартных образцов

Чаще всего испытывают образцы диаметром d=1см. Испытания осуществляют на специальных испытательных машинах. Многие машины автоматически вычерчивают графики зависимости нагрузки от деформации.

Ниже рассмотрим диаграмму растяжения малоуглеродистой стали.

Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы.

На участке ОА деформации растут пропорционально нагрузкам, следовательно до точки А справедлив закон Гука. Точка А соответствует пределу пропорциональности

- предел пропорциональности.

На участке АВ линейная зависимость между Р и нарушается. Однако до точки В возникают в образце упругие деформации. Это означает, если образец нагрузить до точки В, а затем разгрузить, то деформации в образце исчезнут (образец примет первичную форму- предел упругости.

В окрестности точки С имеется почти горизонтальная площадка, здесь деформации растут без видимого увеличения нагрузки. Эта площадка называется площадкой текучести. На поверхности образца появляются наклонные линии. Впервые эти линии заметил русский металлург Чернов. Независимо от него так же заметил Людекс. (Линии Людекса-Чернова)

Точка С – соответствует пределу текучести.

- предел текучести

За площадкой текучести для дальнейшего деформирования образца необходимо увеличить нагрузку.

Точка D– соответствует пределу прочности.

- предел прочности (временного сопротивления).

- наибольшая нагрузка, которую образец выдержал при испытаниях.

Начиная с точки Dв образце появляется шейка (местное сужение).

На участке DKдеформации растут в районе шейки.

В точке К образец разрушается

, где- напряжение в момент разрушения.

А – площадь поперечного сечения шейки в момент разрушения.

КЕ || ОА

На участке ОЕ возникают остаточные деформации

Замечания:

1. Если образец нагрузить до точки Т, а затем разгрузить, то диаграмма пойдет по линии

TL||OA. При повторном нагружении этого образца карандаш пойдет по линииLTDK.

Как видно в этом случае площадка текучести исчезнет и упругие свойства материала возрастают. Это явление называется наклепом и широко используется в строительстве.

Например арматуру железо-бетонных конструкций предварительно напрягают.

2. Если после разгрузки дать образцу возможность «отдохнуть» (не менее 100 часов) , то при повторном нагружении диаграмма пойдет по линии LTM. Это явление называется явлениемстарения.

По результатам испытаний можно судить о прочности упругости и пластичности материала.

Прочность характеризуется величинамии

Упругость характеризуется

Пластичность характеризуетсяи

Где - остаточное относительное удлинение

- относительное сужение.

Где , А – площадь поперечного сечения до деформации,-площадь после деформации.

- для пластичного материала

- для хрупких материалов

Диаграмма напряжений.

Рассмотренная в предыдущем параграфе диаграмма растяжения зависит от размеров образца. Для того чтобы исключить влияние размеров образца на форму диаграммы иногда ее представляют в координатах и

Ниже рассмотрим диаграммы напряжений для некоторых материалов

tg

Из закона Гука известно

- модуль упругости

Диаграмма напряжения хрупкого материала (чугун)

Как видно из рис.2 для хрупких материалов площадка текучести отсутствует, следовательно нет предела текучести. Также видно, что хрупкие материалы при растяжении разрушаются при малых деформациях

Диаграмма растяжения бетона