методичка основы финансовых вычислений

31

Модель оптимизации портфеля минимального риска, содержащего

n ценных бумаг, с учетом рыночного индекса

Цель части второй лабораторной работы — формирование навыков построения оптимизационной модели инвестиционного портфеля.

2.1.Основные этапы построения оптимального

портфеля

Рассмотрим математическую модель оптимизации портфеля

по критерию минимального риска с учетом ведущего рыночного фактора (рыночного индекса) в общем виде. Обозначим выраженные в процентах доходности n видов ценных бумаг, включаемых

в портфель, в момент времени как где Соответствующую этим моментам времени доходность по безрисковым ценным бумагам обозначим как mf(t), а доходность по рыночному индексу — как mr(t).

Построение математической модели оптимального портфеля сводится к определению долей xi, с которыми выбранные ценные бумаги должны входить в оптимальный портфель.

В рассматриваемой рыночной модели оптимального портфеля основной гипотезой является предположение о том, что связь доходности всех ценных бумаг за определенный период времени t с доходностью рынка за тот же период описывается линейной регрессионной моделью вида

(2.1)

где ai — смещение линии регрессии;

32

βi — тангенс угла наклона линии регрессии к оси mr, причем коэффициент βi является мерой чувствительности i-й ценной бумаги к рынку;

εi(t)— не учтенная регрессией компонента доходности — случайная последовательность ряда остатков.

С учетом этого перепишем (2.1) в виде

(2.2)

Просуммируем левые и правые части равенства (2.2) по всем номерам i:

(2.3)

где— доходность портфеля в любой период t,

представляющая собой средневзвешенную по долям xi доходность входящих в портфель ценных бумаг, а слагаемые правой части показывают, что доходность mp(t), во первых, состоит из доходности (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг, линейно зависящей от доходности рынка по каждой ценной бумаге, и, во вторых, содержит не учтенные регрессией компоненты доходностей mi(t) — средневзвешенную по долям xi случайную по-

следовательность ряда остатков Перепишем (2.3) в виде

(2.4)

33

Отсюда следует, что:

1) средневзвешенный по долям ценных бумаг параметр ai имеет смысл параметра а-портфеля:

(2.5)

2) средневзвешенная чувствительность ценных бумаг имеет смысл параметра β-портфеля:

(2.6)

3) средневзвешенная не учтенная рынком, или собственная (не зависящая от рынка), доходность ценных бумаг портфеля:

(2.7)

Таким образом, итоговую сумму системы (2.4) можно переписать в виде

(2.8)

Так как mp есть случайная величина, то при оценке доходности используют ожидаемую (среднюю) доходность (математическое ожидание) за N периодов. Усредняя левую и правую части выражения (2.8) по времени, получим следующую оценку*:

(2.9)

Учитывая, что изменчивость доходности портфеля определяется волатильностью доходности по рыночному индексу с учетом чув-

ствительности портфеля к рынку и волатильностью

не учтенной рынком доходности портфеля в качестве

меры волатильности вводятся соответствующие риски, измеряемые

стандартными (среднеквадратическими) отклонениями: σp — общий риск портфеля ценных бумаг;

* Заметим, что слагаемое вида при усреднении по времени для

всех i обращается в ноль. В частности, это легко проверить в отчете по регрессии, вычислив средние значения для каждого ряда остатков.

34

— рыночный риск портфеля ценных бумаг, то есть систематическая составляющая риска портфеля, обусловленная его чувствительностью к рынку;

— собственный, то есть не учтенный рынком, риск портфеля ценных бумаг*.

Опираясь на сведения из курса теории вероятностей и математической статистики, с учетом уравнений (2.8), (2.9) несложно получить следующие соотношения для указанных дисперсий:

(2.10)

Из (2.10) следует, что рыночную (систематическую) часть риска портфеля можно только принимать во внимание, а несистематическую часть (собственный риск) — уменьшить путем подбора бумаг в портфель посредством диверсификации (например, уменьшить риск за счет включения в портфель ценных бумаг, отрицательно коррелирующих друг с другом).

На рис. 2.1 представлена идея диверсификации рисков портфеля за счет увеличения числа ценных бумаг, входящих в портфель.

Рис. 2.1. Диверсификация риска портфеля ценных бумаг

* Заметим, что студенты часто пытаются сопоставить общему риску портфеля сумму рыночного и собственного рисков. Но этого делать нельзя, так как риски, определяемые через стандартные отклонения, не являются аддитивными величинами. Аддитивными величинами являются дисперсии, в данном случае — квадраты рисков.

35

Извлекая корень из обеих частей равенства (2.10), с учетом (2.8), (2.9) получим формулу для расчета риска портфеля ценных бумаг:

(2.11)

Выражение (2.11) представляет собой целевую функцию в математической модели оптимизации портфеля, которую следует минимизировать, подбирая доли (веса) включенных в портфель ценных бумаг при условии определенных ограничений.

С учетом полученных выражений (2.9) и (2.11) математическая модель задачи о формировании оптимального портфеля минимального риска с учетом динамики рынка mr (t) при условии, что его доходность будет не меньше математического ожидания доходности по безрисковым ценным бумагам в общем виде формулируется следующим образом:

найти вектор минимизирующий риск портфеля sp, причем

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

где xi — доля i-й ценной бумаги в составе портфеля ценных бумаг, и выдвигается требование о неотрицательности долей ценных бумаг, включаемых в портфель; — ожидаемая доходность (математическое ожидание) i-й ценной бумаги;

αi, βi — оценки параметров регрессии доходности i-й ценной бумаги mi(t) на рыночный индекс mr(t), где βi — чувствительность ценной бумаги к рынку; — чувствительность портфеля к рынку, взвешенная по чув-

ствительностям ценных бумаг, входящих в портфель;

36

— дисперсия величины mr(t), то есть квадрат риска (волатильности) доходности по рыночному индексу;

— квадрат систематического (рыночного) риска

портфеля;

— квадрат собственного риска портфеля, представляю-

щий собой сумму квадратов собственных (не подверженных влиянию рынка) рисков ценных бумаг, взвешенных по долям этих бумаг в портфеле.

Заметим, что неравенство (2.13) отражает требование того, что доходность портфеля должна быть не меньше, чем доходность по безрисковым ценным бумагам, а равенство (2.14) учитывает необходимость выполнения условия о том, что сумма долей ценных бумаг, входящих в портфель, должна быть равна единице.

2.2.Определение основных характеристик отдельной ценной бумаги с учетом рыночного индекса

При формировании оптимального портфеля ценных бумаг необходимы рыночные данные по отдельным ценным бумагам, информация о которых представлена на многочисленных информационных сайтах. Например, многие рыночные данные о значениях индексов и котировках акций представлены на сайте http://www.finam.ru/ analysis. В табл. 2.1 приведены данные об акциях компании «Мос­ энерго» (цена закрытия) с июня 2010 г. по февраль 2012 г. и индекс РТС (тикер-RTSI).

Обозначим выраженные в процентах доходности n видов ценных

бумаг, включаемых в портфель, в момент времени как где Соответствующую этим моментам времени доходность по безрисковым ценным бумагам обозначим через mf(t), а доходность по рыночному индексу — через mr(t).

Таким образом, на первом этапе необходимо вычислить процентную доходность инструментов за каждый месяц:

(2.16)

где Сt — цена закрытия финансового инструмента за данный месяц; Ct–1 — цена закрытия финансового инструмента за предыдущий

месяц.

Сведем эту информацию за N периодов времени, например за N месяцев, в табл. 2.2, которая представляет собой информационную базу для формирования портфеля ценных бумаг.

39

Рис. 2.2. Вызов Мастера диаграмм

Рис. 2.3. Точечная диаграмма

Из уравнения регрессии (2.18) отчетливо видно, что коэффициент βi численно равен изменению доходности при изменении на 1% доходности mr, то есть он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется доходность i-й ценной бумаги при изменении на 1% доходности по рыночному индексу mr.