1. Краткие теоретические сведения о маи

1.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Прежде, чем изложить подробно алгоритм МАИ и описать пример его применения, приведем элементарные сведения о понятиях «собственный вектор» (СВ) матрицы и ее «собственное значение» (СЗ), поскольку МАИ основан на использовании этих понятий и математическим аппарате линейной алгебры.

Определение. Число λ называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой n-мерный нулевой вектор , что выполняется уравнение [10, с. 70]:

или . (1)

Множество всех собственных значений матрицы А находится как корни характеристического или векового уравнения

, (2)

где λ – рассматривается в качестве независимых переменных; Е – матричная единица; det(·) – определитель матрицы.

Замечание 1. Если выполнить операцию вычисления определителя det(·) в (2), то получим выражение для характеристического полинома относительно собственных чисел:

. (3)

Решение систем линейных однородных уравнений вида (1) и (2) основано на известной лемме из теории матриц [9, с. 54]: «Для того, чтобы линейная система однородных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя».

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

1. Запишем характеристическое уравнение матрицы

.

То есть получилось квадратное уравнение (характеристический многочлен) относительно неизвестных значений λ.

2. Решением этого квадратного уравнения будут корни:

.

3. Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным значениям. Собственный вектор принадлежащий собственному значению , по определению является нулевым решением системы

. (3)

Верхний индекс в скобках означает принадлежность к собственному значению , а нижний индекс – это номер простого (не кратного) корня.

Поучим:

.

4. Проверяем условие цитированной выше леммы:

.

Условия выполнены, значит нетривиальное решение (3) существует. Тогда в простейшем случае системы двух уравнений [9, с. 336]:

Таким образом, ненулевой собственный вектор, принадлежащий собственному числу , найден:

.

Аналогично находится второй собственный вектор матрицыА, принадлежащий собственному значению .

;

Следовательно, второй собственный вектор, принадлежащий собственному числу , равен

.

Замечание. Метод нахождения собственных чисел и собственных векторов из [9, с. 336] неэффективен с точки зрения вычислительной математики при высоком порядке матрицыА (n ~ сотни и тысячи).

В вычислительной математике известны различные вычислительные схемы определения собственных чисел и собственных векторов матрицы, и имеются соответствующие пакеты программ для ЭВМ. Однако до настоящего времени общепринятый стандартный простой метод решения проблемы на собственные значения и собственные векторы матриц большого размера отсутствует.

Если под рукой нет подходящей программы, то можно применить один из простых приближенных методов, описанных в [1, с. 32]. В лабораторной работе применен метод под номером 4, использующий среднегеометрическую оценку компонент собственного вектора (см. ниже, пункт 1.2).