Экзаменационные вопросы по дисциплине «мАиЛа»

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матри

цы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами:

умножение на число, сложение и умножение матриц.

2. Определители 2го, 3го и nго порядков (определения и их

свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элемен

там строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неосо

бенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица,

обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k3го порядка. Ранг матрицы (определение).

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразова

ний. Пример.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема

о ранге матрицы.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание,

умножение на число). nмерный вектор. Понятие о векторном про

странстве и его базисе.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Ха

рактеристическое уравнение матрицы.

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид)

и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Сов

местные и несовместные, определенные и неопределенные системы

линейных уравнений.

9. Решение системы n линейных уравнений с п переменными ме

тодом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса.

10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными

с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х = А –1В).

11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных

уравнений с п переменными (без вывода).

12. Понятие функции. Способы задания функций. Область опре

деления. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции.

Примеры.

13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные

функции (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая)

и их графики.

14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли

ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них

вывести).

15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Предел последовательности при n ? ? и предел функции

при x ? ? . Признаки существования предела (с доказательством

теоремы о пределе промежуточной функции).

17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы

о пределах (одну из них доказать).

18. Бесконечно малые величины (определение). Свойства беско

нечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большие

величины, их связь с бесконечно малыми.

19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натураль

ных логарифмах.

20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства

функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение каса

тельной к плоской кривой в заданной точке.

22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь

между дифференцируемостью и непрерывностью функции (дока

зать теорему).

23. Основные правила дифференцирования функций одной пе

ременной (одно из правил доказать).

24. Формулы производных основных элементарных функций

(одну из формул вывести). Производная сложной функции.

25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометри

ческая интерпретация этих теорем.

26. Достаточные признаки монотонности функции (один из при

знаков доказать).

27. Определение экстремума функции одной переменной. Необ

ходимый признак экстремума (доказать).

28. Достаточные признаки существования экстремума (доказать

одну из теорем).

29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, на

клонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

30. Общая схема исследования функций и построения их графи

ков. Пример.

31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные про

изводные (определение). Экстремум функции нескольких перемен

ных и его необходимые условия.

32. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших

квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы

нормальных уравнений).

33. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инва

риантность формы дифференциала первого порядка.

34. Понятие первообразной функции. Неопределенный интег

рал и его свойства (одно из свойств доказать).

35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и

особенности его применения при вычислении определенного интег

рала.36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределен

ного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла.

38. Теорема о производной определенного интеграла по пере

менному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

39. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег

рирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определен

ного интеграла. Примеры.

41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное

решения. Задача Коши. Задача о построении математической моде

ли демографического процесса.

42. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

(разрешенные относительно производной, с разделяющимися пере

менными) и их решение. Примеры.

43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения

первого порядка и их решение. Примеры.

44. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.

Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположи

тельных рядов. Примеры.

47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости

знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость ря

дов.

48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклоре

на. Разложение в ряд Маклорена функции у = еx (вывод). Интервал

сходимости полученного ряда.

49. Разложение в ряд Маклорена функции y = ln (1 + x) (вывод).

Интервал сходимости полученного ряда.

50. Разложение в ряд Маклорена функции у = (1 + х)n (вывод).

Интервал сходимости полученного ряда.