integraly_-_vse_(1) (1)

dx

Отв. _

2

1

C.

12.

I

.

3 tg

3x

1

См. (8.6)

sin 3x 1

2

Таблица 3.

Подынтегральная

Подстановка

Новая подынтегральная

функция

функция

f x,

x a sin t, x a cost

f (asin t, a cost) (10.1)

a2 x2

x

a

,(x

a

)

f (

a

, atgt)

(10.2)

f (x,

x2

a2 )

cos t

cost

sin t

x a tgt, (x a ctgt)

f (a tgt,

a

)

(10.3)

f (x,

x2

a2 )

cos t

Если x asint , то

t arcsin

x

a2 x2

a cos t,

dx a cos t,

. Отсюда сле-

a

2

1

1

cos 2t dt

a2

dt

a2

1

cos 2t d 2t

a2

1

I a

t

sin 2t

C.

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

Учтем, что

sin 2x

2sin t cost

a sin t a cost

x a2

x2 . И теперь

a2

2

2

a2

1

x

запишем окончательный ответ:

I

2

x

2

a

2

C.

x

a

arcsin

2

a

Пример 43. Вычислим интеграл I

dx

.

x

x2 9 3

2) Прео6разуйте данный интеграл,

подставив

x

3

,

в подынте-

cost

3sin t

dt

2

2

1

гральное выражение.

(

I

cos t

cos t

dt. )

2

3

3

27

sin

t

3tgt

cost

3) Имея уже достаточный опыт, вычислите получившийся после за-

мены переменной интеграл.

(

1

ctgt t C )

27

I cos2 t cos tdt cos2 td sin t 1 sin2 t d sin t d sin t sin2 td sin t

sin t

1

sin3 t C.

3

Чтобы

дать

окончательный

ответ,

заметим,

что

sin t tgt cos t x 3

1

.

x 3 2 1

x 3

1

x 3 3

И теперь получаем ответ: I

C.

3

x2 6x 10

x2 6x 10 3

ax b

f (x, m

ax b

, n

ax b

)

tr , где r

- наименьшее общее крат-

cx d

cx d

cx d

(11.1)

ное чисел m и n .

Подстановки Чебышева

1) Если

p целое число, то x ts ,

где s -

f (x) xm a bxn p

наименьший общий знаменатель чисел m

,

и n .

где m, n, p -

2) Если

m 1

целое число, то

a

bxn ts ,

(11.2)

рациональные

n

числа

где s знаменатель дроби p .

3) Если

m 1

p целое число,

то

a

b ts ,

xn

n

где s знаменатель дроби p .

ва.

Интеграл

I xm a bxn p dx может быть выражен в элементарных

функциях только в трех случаях:

если p целое число,

если

m 1

целое число,

n

если

m 1

p целое число.

n

Пример 45. Вычислим интеграл I

1 4 x

dx.

x

становки

и

преобразования данный

интеграл

принимает вид

1

1

I

dt

C .

4t

2

4t

Из выбранной подстановки следует,

что

t

4 3x2

. Подставляя это

x

I

x

C.

3x2

4 4

Пример 47. Вычислим интеграл I

x3dx

.

1 x3

Решение.

Подынтегральную функцию можно

представить в ви-

3

1

3

1

2 .

де f (x) x

x

Проверим, выполняется ли для нее одно из условий Чебышева. (См.

(11.2)). Имеем m 3, n 3, p

1

. Видим, что p

не является целым чис-

2

лом,

m 1

4

тоже не является целым числом и

m 1

p

5

не целое чис-

n

3

n

6

f (x)

x3

функции

.

1

x3

x2

x

x

1.

I

dx .

Отв.

arcsin

C.

См.(10.1)

3

9 x2 3

9 x2

2.

I

x3

dx.

Отв.

1

1

16

C.

См.(10.2) и (8.5)

x2 16 3

x2 16 5

x2 16

3

3.

I

dx

.

Отв.

1

1

x

1

C.

ln

tg

arctg

См.(10.3)

x2

3

x

4

8

2

2

4 x2 4

Оглавление

Введение........................................................................................................................

1

Часть 1. Основные сведения.......................................................................................

2

Основные свойства неопределенных интегралов .....................................................

2

Таблица основных определенных интегралов для функции f(u)...............................

Таблица 1.......................................................................................................................

3

Часть 2. Тождественное преобразование подынтегральной функции...................

4

Задачи для самостоятельной работы ..........................................................................

6

Часть 3. Подведение под знак дифференциала ........................................................

7

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

13

Часть 4. Интегрирование по частям ........................................................................

14

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

20

Часть 5. Метод подстановки (замена переменной) ................................................

21

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

23

Часть 6. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный

трехчлен.......................................................................................................................

24

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

29

Часть 7. Интегрирование рациональных дробей....................................................

30

Таблица 2.....................................................................................................................

30

План разложения рациональной правильной несократимой дроби

на сумму

элементарных дробей.................................................................................................

31

Метод Остроградского (выделение рациональной части интеграла) ...................

38

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

40

Часть 8. Интегрирование тригонометрических функций......................................

40

Часть 9. Интегрирование гиперболических функций............................................

49

Задачи для самостоятельной работы....................................................................

50

Часть 10. Тригонометрические подстановки......................................................

51

Таблица 3.....................................................................................................................

51

Часть 11.Интегрирование некоторых иррациональных функций ........................

54

Таблица 4.....................................................................................................................

54

Задачи для самостоятельной работы ........................................................................

57

Список литературы.....................................................................................................

58

59