УчебникНГ_полный

рис. 260

Рассмотрим вариант построения условной развертки сферы при замене отсеков сферы отсеками коническ их поверхностей.

Для этого поверхность сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора разделяют на ряд поясов I, II, III, IV , V, VI и VII (рис.261). Каждый из сфери ческих поясов аппроксимиру ют поясом конической поверхности, верши на A, B или C которого находится на оси сферы, перпендикулярной плоскости экватора (рис.262). Сферический пояс I, прилегающий к экватору, можно аппроксимировать цилиндрическо й поверхностью. На бор из ра зверток этих поясов представляет собой условную развертку сф еры (рис.263).

151

рис. 263

Вопросы для самопроверки

¾Для каких поверхностей строят условные развертки?

¾В чем суть построения условных разверток?

¾ Какими поверхностями аппрокси мируют отсеки сферы при построении ее условной развертки?

152

Глава X

АКС ОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

§49. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Метод ортогонального прое цирования на несколько плоскостей проекций, обладая

воссоздание п ространственного об раза. Объясняется это тем, что проецируемый пред мет

рис. 264

Плоскость α называется плоскостью аксонометрич еских проекций и ли

кар тинной плоскостью. Оси коорд инат x, y и Z проецируются на картинну ю плоскость в прям ые xα, yα и Zα, называемые аксонометрическими осями.

Если на осях x , y и Z отложить равные отрезки ex, ey и eZ, то их аксонометрическими проекциями будут отрезки exα, eyα и eZα, которые в общ ем случае не равны между собой и не равны отрезкам ex, ey и eZ.

153

Отношения kx= exα / ex, ky = eyα / ey, kZ= eZα / eZ, называются коэффициентами

(показателям и) искажения по аксонометрическим осям. Коэффициенты искаже ния

зависят от угла φ наклона направления проецирования s к картинной плоскости. Эта зависимость оп ределяется соотношением [7]

k2x + k2x + k2x = 2 + ctg φ (1)

Посколь ку расположение к оординатных осей x, y и Z относительн о картинн ой плоскости и направление проецир ования не ограничены, то и величина коэффициентов искажения и их отношение между собой также не ограни чены.

Если все три показателя искажения не равны между собой, то проекци я называется три метрической. Если два показателя искаж ения равны между собой, а третий от н их отличается, то проекция называется диметрической. Если все три показателя искажен ия равны между собой, то п роекция называется изометрической.

Если направление проецирования перпендикулярно картинной плоскости, то аксонометрическая проек ция называется прямоугольно й (ортогональной), в противном случае — косоугольной.

На рис. 265 представлено построение точки в прос транстве и на аксонометрическом чертеже.

рис. 265

Пространственной координатной лом аной O Ax A' A на аксонометрическом чертеже соответствует плоская аксонометрическая координатная ломаная O α Axα A'α Aα, где Aα есть аксонометрическая проекция пространственной точки A. Аксонометрическая проекция любо й ортогональной проекции точки называется ее вторичной проекцией (на рис. 254 точка A'α есть вто ричная проекция горизонтальной проекции A' пространственн ой точки A).

Если мо жно пост роить аксонометрическую проекцию любой точки пространства, значит можно построить аксонометрию любой пространственной фигуры. На рис. 266 показано построение аксонометрии призмы с основани ем на горизонтальной плоскости проекций.

154

рис. 266

Вопросы для самопроверки

¾В чем суть аксонометрического способа изображения?

¾Что называются коэффициентами искажени я по аксонометрическим осям?

¾Как подразделяются аксонометрические проекции в зависимости от коэффициентов искажен ия?

¾ Как подразделяются аксонометрические проекции в зависимости от направления проецировани я?

§50. ОС НОВНАЯ ТЕОРЕМА АКСОНОМЕТРИИ

Посколь ку взаимное расположение декартовой системы координат относител ьно

Например, ГОСТ 2.317-69 рекомендует применять две прямоугольные (изометрическу ю и диметрическу ю) и три косоуголь ные (две из которых — изометрические и одна — диметрическая) проекции.

Вопросы для самопроверки

¾ Сформулируйте основную теорему аксонометрии.

155

§51. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСО НОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕ КЦИИ

В соответствии с ГОСТ 2.31 7-69 установлены пра вила построения следующих трех косоугольных аксонометрических проекций: фронтальной изометрической, горизонтальной изометрической и ф ронтально й диметрической.

51.1 . Фронтальная изом етрическая проекция

Положение аксонометрических осей пр иведено на рис.267. Допускается применять аксонометрию с углом наклона оси yα, равным 30 и 60 .

Выполнять проекцию рекомендуется без искажения по осям xα, yα и Z α.

рис. 267

Проекции окружностей во фронтальной изометрической проекции показаны на рис. 268.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружность 1. Окружности, лежа щие в плоскостях, параллельн ых горизонтальной и профильной плоскостям проекций

проецируются в конгруэнтные элли псы 2 и 3. Большая ось эллипса 2 наклонена к оси xα под углом 22 3 0'. Большая ось эллипса 3 наклонена к оси Zα под углом 22 30'.

156

фро нтальной плоскости проекций.

51.2. Горизонта льная изометрическая проекция

Положение аксонометрических осей горизонтальной изометрической проекции приведено на рис.270. Д опускается применять аксонометрию с углом наклона оси yα, равным 45 и 60 , сохраняя угол между осями xα и yα равным 90 .

Выполняют проекцию без искажения по осям xα, yα и Zα.

рис. 270

Проекции окружностей в горизонтальной изометрической проекции показаны на рис. 271.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности 2. Окружности, лежа щие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций

проецируются в эллипсы 1 и 3. Большая ось эллипса 1 наклонена к оси Zα под углом 1 5 . Большая ось эллипса 3 наклонена к оси Zα под углом 30 .

157

горизонтальной плоскости проекций.

51. 3. Фронтальная диметрическая проекци я

Положение аксонометрических осей горизонтальной изометрической проекции представлено на рис.273. Допускается применять аксонометрию с углом наклона оси yα, равным 30 и 60 .

Коэффициенты искажения по осям xα и Zα равны 1, а по оси yα — 0,5.

рис. 273

Проекцииокружностейвофронтальнойдиметрическойпроекциипоказанынарис.274. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности 1. Окружности, лежа щие в плоскостях, параллельн ых горизонтальной и профильной плоскостям проекций

проецируются в конгруэнтные элли псы 2 и 3. Большая ось эллипса 2 наклонена к оси xα под углом 7 14 '. Большая ось эллипса 3 наклонена к оси Zα под углом 7 14'.

158

Большие оси эллипсов 2 и 3 равны 1,07d, а малые — 0,33d.

Пример фронтальн ой диметрической проекции детали приведен на рис.275.

графические программы позволяют создавать электронные модели трехмерны х объектов и рассматривать их на экране дисплея с различных точек зрения. Любое изображ ение объекта на экране дисплея, по сути, является аксонометрическо й проекцией этого объекта. Чтобы получить аксонометрический черте ж достаточно просто распечатать экранное изображе ние объекта на принтере или плоттере в требуемом масштабе.

ГОСТ 2.317-69 разрешает такой способ получения аксонометрических проекций. На рис. 276 представлен аксонометрический чертеж детали.

рис. 276

Вопросы для самопроверки

¾ Какие косоугольные п роекции рекомендует применять ГОСТ 2.317-69?

§52. КО ЭФФИЦИ ЕНТЫ И СКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИ М ОСЯМ В ПРЯМ ОУГОЛЬНОЙ АКСОНОМЕ ТРИИ

В системе трех плоскостей проекций возьмем плоскость общего положения α и при мем ее за плоскость аксонометрических проекций (рис.277).

рис. 277

159

Следы этой плоскости h0α, f0α, p0α образуют треугольник Xα Yα Zα с вершинами в точках схода следов. Этот треугольник называют треугольником следов.

Опустим из начала координат О перпендикуляр на плоскость α. Точка Оα пересечения перпендикуляра с плоскостью α представляет собой прямоугольную проекцию точки О, а отрезки OαXα, OαYα, OαZα — прямоугольные аксонометрические проекции координатных осей OXα, OYα, OZα.

Аксонометрические оси перпендикулярны сторонам треугольника следов: OαXα

YαZα, OαYα XαZα, OαZα XαYα. Это легко доказать с помощью теоремы о трех перпендикулярах. Докажем, например, что OαZα XαYα. Поскольку ось OZ перпендикулярна плоскости π1, то она перпендикулярна отрезку XαYα, лежащему в этой плоскости. Отрезок

OαZα является ортогональной проекцией отрезка OZα на плоскость α, следовательно OαZα XαYα, что итребовалось доказать.

Треугольники OOαXα, OOαYα, OOαZα — прямоугольные, отрезки OαXα, OαYα, OαZα

т.е. коэффициенты искажения по всем трем аксонометрическим осям равны 0,82.

В практической изометрии коэффициенты искажения принимают равными 1, в связи с чем, линейные размеры изображений увеличиваются в отношении 1:0,82, т.е. в

1,22 раза.

Диметрическая проекция

В прямоугольной диметрии kx = kZ = k и ky = 0,5 k, следовательно, 2k2 + k2/4 = 2, k2=8/9, k = = 0,94. Таким образом, в прямоугольной диметрии коэффициенты

искажения kx = kZ = 0,94, и ky = 0,47.

В практической диметрии коэффициенты искажения kx = kZ = 1 и ky = 0,5, в связи с чем, линейные размеры изображений увеличиваются в отношении 1: 0,94, т.е в 1,06 раза.

Вопросы для самопроверки

¾Чему равны коэффициенты искажения в прямоугольной изометрии?

¾Чему равны коэффициенты искажения в прямоугольной диметрии?

¾Какая аксонометрия называется практической?

¾Чему равен масштаб практической изометрии?

¾Чему равен масштаб практической диметрии?

160