УчебникНГ_полный

На рис.201 эллиптический ц илиндр ка сается сферы в двух точках A и B. Линии пересечения а и b — окружности, поэтому эту теорему часто используют для нахожде ния круговых сече ний эллиптических поверхностей.

Теорема 3 (Теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписа ны в неё, то линия их пересече ния распадается на две плос кие кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прям ую соедин яющую точки пересечения линий касания.

В соот ветствии с этой теоремой линии а и b пересечения двух коническ их поверхностей α и β, описанных около сферы γ, будут плоскими кривыми — эллипсами, фро нтальные проекции которых прямые линии (рис.202).

Линии касания с1 и с2 пересекаются в точках A и B, через которые проходят линии пересечения а и b и прямая, по кото рой пересекаются плоскости к ривых.

На рис.203 два сжатых эллипсоида вращения α и β вписаны в сферу γ. В соответствии с теоремой Монжа, линии а и b пересечения этих поверхностей — эллипсы (две плоские кривые линии).

121

гиперболы. Действительной осью гиперболы является ось цилиндрической поверхности меньшего диам етра, а мнимой осью — ось дру гой цилиндрической поверхности.

Асимптоты пересекаются под углом 900.

Вершина гиперболы получена введением вспо могательной сферы, вписанной в цили ндрическу ю поверхн ость боль шего диаметра

На рис. 205 оси цилиндрических поверхностей пер есекаются не под прямым углом. Положение асимптот и верш ины гиперболы мож но определить дополнительными

построениями, зная точк и, принадлежащие гиперболе.

На рис. 206 представлено пересечение цилиндрической и конической поверхностей, а на рис.207 - двух конических поверхностей. В обоих случаях линия пересече ния проецируется в виде гиперболы.

поверхности и перпендикулярна оси цилиндрической поверхно сти. Расстояние от оси

цили ндрическо й поверхности до центра сфер ы определяет величи ну параметра р, дающ ее возможность определить положение фокуса F и директрисы.

Вопросы для самопроверки

¾В каком случае конические поверхности пересекаются по общим образующим?

¾В каком случае цилиндрические поверхности пересекаются по общим образующим?

¾По каким линиям пересе каются соосные поверхности вращения?

¾ По каким линиям пересекаются две поверхности второго порядка с общим основанием?

¾Сф ормулируй те теорему о двойном прикосновении.

¾Сф ормулируй те теорему Монжа.

¾Как проецируется на общую плоскость симметрии линия пересечения двух поверхностей второго порядка?

§40. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПО ВЕРХН ОСТЬЮ

Линия с поверхностью пе ресекаются в одной или нескольких точках. Точ ки пересечения — это точки, общие для поверхн ости и для линии.

Рассмотрим два случая: когда-либо линия либо поверхность находятся в проецирующем положен ии и когда обе фигуры — непроецирующие.

40.1. Случай, когда одна из геометрических ф игур — проецирующая

При проецирующем положении либо поверхности, либо линии ре шение зад ачи

цили ндра является его след hoα, горизонтальные проекции всех точек этой поверхности находятся на этом следе, в том числе и проекции точек пересечения. Поскольку точ ки

проекции А' и В' искомы х точек яв ляются точками пересечения следа hoα поверхности с горизонтальной проекцией а' кривой. Фронтальные проекции точ ек пересечения А" и В"

находятся на фронтальной проекции а" кривой.

На рис.212 проецирующая прямая с пересекает плоскость общего положения, заданную параллельными прямыми а и b. Горизонтальная проекци я точки п ресечения K'

известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией с' прямой. Фронтальную проекцию K" точки пересечения на ходим из условия принадлежности ее плоскости, проведя через эту точку в плоскости прямую l.

На рис.2 13 горизо нтально проецирующая плоскость αпересекается с прямой общего положения а. Горизонтальную проекцию K' точки пересечения находим на пересечении горизонтального следа ho α плоскости и горизо нтальной проекции а' прямой. Фронтальная проекция K" точки пересечения находится на ф ронтальной проекции а" прямой.

124

При пе ресечении фронтально проецирующей прямой а с конической (рис.214) и сферической ( рис.215) поверхностями, на фронтальную плоскость проекций пря мая

проецируется в точку а" , с которой совпадают фронтальные проекции К"1 и К"2 точек пересечения пр ямой с поверхность ю.

Горизонтальные проекции точек пересечения находим исходя из принадлежности этих точек поверхности (на конусе (рис.214) для это го можно воспользоваться ли бо

образующими поверхности, либо параллелью с; на сфере (рис.215) — либо параллелью с1, либо парал лелью с2).

40.2.Случай, к огда обе геометрические фигуры — об щего положения

Рассмотрим задачи на пересечение прямой линии с поверхностью.

При пересечении прямой а с поверхностью α, когда ни прямая, ни поверхность не занимают проецирующего полож ения относительно какой-либо плоскости проекций, при меняют следующий алгоритм решения (рис.216):

1.Прямую а заклю чают во вспомогательную плоскость γ.

2.Нахо дят линию l пересечения вспомогательной плоскости γ с поверхностью α.

3.На пересечении полученно й линии l с прямой а находят искомую точку К.

рис. 216

Вспомогательную поверхность следует выбирать таким образом, чтобы ли ния пересечения ее с заданной поверхностью проецировалась в виде простой линии.

На рис.217 показано нахождение точек пересечения горизонтально й прямой а с поверхностью конуса вращения, а на рис.218 — со сферой. В обоих случаях для построения использованы вспом огательные горизонтальные плоскости, т.к. они пересекают заданные поверхности по окружностям, проекции которых также окружности.

125

На рис. 219 дан пример пересечения прямой общего положения а с поверхностью

тора.

рис. 219

Вэтом случае нельзя заклю чить пря мую во вспомогательную плоскость, лин ия

плоскость следует всегда задавать в проециру ющем положении относительно какой-либо плоскости проекций. Тогда легко решается задача на пересечение плоскостей. На рис.209 прям ая m заключена во фронтально проецирующую плоскость γ, которая пересекает заданную плоскость по прямой l. На пересече нии прямых m и l находится искомая точка K пересечения пр ямой и плоскости.

рис. 220

40.3.Применение вспомогательн ых плоскостей общего положения

При решении некоторых задач на нахождени е точек пересечен ия прямой с поверхностью более рациональное решение дает применение не проецирующ их вспомогательных плоскостей, а плоскостей общего положения. Покажем это на двух при мерах.

Более простое решение получается, если заданную прямую заключить в плоскость γ общего положения, параллельную образую щим цилиндра. Такая плоскость пересечет цили ндр по прямым линиям (образующим).

Чтобы задать такую плоскость, достато чно пересечь заданную пряму ю а прямой b, параллельной образующи м цилинд ра.

Для нахождения линий пересечения следует найти точки 2 и 4, в которых прямые а и b пересекают плоскость основания цилиндра α. Прямая m, проходящая через точки 2 и 4, является линией пересечения вспомогательной плоскости γ с плоскостью α. Через точки 3 и 4 пересечения прямой m с основанием цилиндра проходят образующие l1 и l2, по которым вспомогательная плоскость γ пересекает поверхность цилиндра. В пересечении образующих l1 и l2 с п рямой а находятся искомые точки К1 и К2, в которых прям ая а пересекает поверхность ц илиндра.

127

рис. 221

Решение этой зад ачи на проекционном чертеж е представлено на рис.222. Все обозначения на проекционном чертеже соответствуют обозначениям на рис.221.

рис. 222

На рис. 223 представлена схема решения задачи по определению точек пересече ния прям ой а с поверхностью конуса.

128

В данном случае прямую а следует заключить во вспомогательную плоскость γ,

находятся точки К1 и К2, в которых прямая ап ересекает поверхность конуса.

Плоскость γ на чертеже уже задана прямой а и точкой S. Для постр оения прям ой m, по которо й плоскость γ пересекает плоскость α основания конуса, через верши ну конуса проведем прямую b, пересекающую п рямую а, и найдем точки 1 и 2, в которых прям ые а и b пересекают плоскость основания конуса α. Прямая m, проведенная через точки 1 и 2, пересечет основание конуса в точках 3 и 4, через которые проходят образующие l1 и l2.

рис. 223

Решение этой зад ачи на проекционном чертеж е представлено на рис.224. Все обозначения на проекционном чертеже соответствуют обозначениям на рис.223.

рис. 224

40.4.Применение способа замены плоскостей

при нахождении точек пересечения пря мой с поверхностью

Применение способа преобразования чертежа при построении точек пересече ния прям ой линии с поверхностью сферы приведено на рис.2 25.

129

рис. 25

Так как любая плоскость пересекает поверхность сферы по окружности, заключаем прям ую а в проецирующую плоскость γ. На рис.225 это — горизонтально проецирующ ая

плоскость. Лежащая в ней окружность сечения сферы с на фронтальную плоскость проекций проецируется в виде эллипса. Чтобы избежать построения лекальной кривой,

определение искомых то чек производится на дополнительной плоскости проекций π3, параллельной плоскости γ. На неё окружность с проецируется окружностью с'", а пря мая

а — линией а'". Точки пересечения этих лин ий являются дополнительным и проекциями искомых точек пересечения К1 и К2.

Проведя линии связи в о братном направлении, находим горизонтальные и фро нтальные проекции искомых точек.

Вопросы для самопроверки

¾ Что называет ся точкой пересечения линии с поверхностью?

¾ Почему в случае, когда линия или поверхность за нимают проецирующее положение, нахождение точки их пересечения существенно упрощ ается?

¾Сф ормулируй те алгорит м решения задачи по нахождению точек пересечения линии и поверхности в о бщем случае.

¾ В каких случаях для нахождения точки пересечения прямой с поверхностью удобно использовать вспомогательные проецирующие плоскости?

¾ В каких случаях для нахождения точки пересечения прямой с поверхностью удобно использовать вспомогательные плоскости общего положения?

§41. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕР ХНОСТИ

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой точк е называю т плоскость, которой принадлежат все прямые, касательные к поверхности в да нной точке.

130