5. Лекция 5

   1. Алгоритмы вычисления определенных интегралов.

Основу численных методов вычисления определенных интегралов составляет их геометрический смысл. Определенным интегралом

называют площадь криволинейной трапеции, ограниченную подынтегральной кривой, осью абсцисс и ординатами f(a) и f(b). На рис. 5.1 данная площадь заштрихована.

Рис. 5.1 Геометрический смысл

определенного интеграла

При численном интегрировании подынтегральную функцию заменяют более простой, для которой вычисление указанной площади производится в соответствии с достаточно простыми формулами, и искомый интеграл вычисляют приближенно с определенной точностью.

1. Метод прямоугольников.

Наиболее простым методом численного интегрирования является метод, основанный на применении формулы прямоугольников. В этом случае подынтегральную функцию/кривую заменяют прямой, а формула для вычисления площади прямоугольника известна. Для повышения точности вычислений участок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей. Далее берутся значения подынтегральной функции в левых (или правых) концах полученных участков. При этом подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] заменяется ступенчатой кривой (см. рис. 5.2), и приближенное значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников

где

y

Аналогичная формула прямоугольников получится и в том случае, если брать для интегральной суммы значения функции f(x) не в левых, а в правых концах участков разбиения:

В результате расчетов по формулам «слева» и «справа» получается приближенное значение интервала (с недостатком или с избытком), которое может отличаться от действительного на некоторую величину, называемую ошибкой ограничения. Эта ошибка определяется величиной остаточного члена ряда Тейлора:

В качестве примера на рис. 5.3 приведена схема алгоритма, реализующего вычисления по формуле прямоугольников «слева». Увеличение числа участков разбиения n приводит к повышению точности вычисления интеграла. Следует обратить внимание также на формирование условия выхода из цикла на рис. 5.3, добавление половины шага h в условие необходимо для избежания возможного сравнения на равенство двух вещественных значений x и b–h.

Определение интеграла по формуле средних

Рис. 5.3 Алгоритм вычисления определенного

интеграла методом прямоугольников

С целью повышения точности вычислений по методу прямоугольников значение подынтегральной функции целесообразно взять не на концах участков, а в их середине. В результате получим формулу средних:

,

где i=1,2,…,n. Остаточный член формулы средних гдеM = max |f "(v)| v[a,b].

Данный метод вычисления определенного интеграла обеспечивает более высокую точность при равном n по сравнению с формулами прямоугольников. Формулу средних рекомендуется использовать для достаточно гладких функций f(x), не содержащих высокочастотных колебаний на отдельных интервалах интегрирования. На рис. 5.4 показана схема алгоритма вычисления интеграла по формуле средних.