Другими словами, решение уравнения Шредингера равносильно нахождению собственных векторов и собственных значений оператора Гамильтона или оператора энергии.

До сих пор речь шла об уравнении Шредингера без времени, т.е. о его обобщенной форме. Время исключалось из первоначального волнового уравнения, потому что временная зависимость сразу принималась в форме e j 2 Wh t . Это означает, что производная по времени имеет следующий вид:

Справедливость этого уравнения в общем случае постулируется, что и дает уравнение Шредингера, включающее зависимость от времени.

15.1 Правила вычисления вектора состояния

Назвав различные -функции векторами, естественно для упрощения использовать

где интегрирование производится по всему пространству. Если ψ — единичный вектор, т.е. нормирован на 1, то справедливо равенство

векторы ψa и ψb взаимно перпендикулярны.

121

Из определения скалярного произведения следует, что справедливы следующие выражения (a — любое число):

.ψa; ψb / D .ψb ; ψa/ I

.aψa; ψb / D a .ψa; ψb / I .ψa; aψb / D a .ψa; ψb / I

.ψa; ψb C ψc / D .ψa; ψb / C .ψa; ψc / I

.ψa; ψa/ > 0:

Справедливо также неравенство Шварца

.ψa; ψa/ .ψb ; ψb / > .ψa; ψb / .ψb ; ψa/ D j.ψa; ψb /j2 :

Это нетрудно показать. Поскольку длина .ψ; ψ/ согласно определению больше нуля для всех функций, то, следовательно,

.ψa r ψb ; ψa r ψb / > 0;

где r — любое действительное или комплексное число. Перепишем это выражение более

подробно:

.ψa; ψa/ r .ψb ; ψa/ r .ψa; ψb / C r r .ψb ; ψb / > 0:

После умножения последнего выражения на положительное число .ψb ; ψb / и учета соотношения .ψa; ψb / D .ψb ; ψa/ придем к неравенству вида

.ψa; ψa/ .ψb ; ψb / 2 .ψb ; ψa/ .ψb ; ψa/ C .ψb ; ψa/ .ψb ; ψa/ > 0;

из которого следует неравенство Шварца.

15.2 Математические основы квантовой механики

Используемый выше способ описания делает общий метод квантовой механики достаточно простым, почти наглядным. Состояние системы характеризуется элементом «функционального пространства» — «вектором» ψ, причем сама функция зависит от классических координат q1, q2, . . . , qf и от времени t . В этом бесконечномерном функциональном или векторном пространстве уже определен оператор энергии, который вектор ψ переводит в другой вектор ψ. Аналогичным образом квантовая механика изображает каждую классическую величину с помощью самосопряженного линейного оператора (эрмитового оператора), который удовлетворяет условию

122

.ψa; pO x ψb / D .pO x ψa; ψb / ;

что и является определением самосопряженности.

В случае оператора энергии достаточно доказать самосопряженность оператора 4. Используя теорему Грина, получаем:

Это выражение доказывает самосопряженность 4.

Интересна теорема для собственных значений самосопряженных операторов, утверждающая, что они действительны. Доказательство очень несложно. Пусть справедливо равенство

123

Умножая его скалярно сначала справа, а затем слева на ψn, получаем:

а это значит, что Ln — действительная величина.

Вышеприведенный формализм позволяет убедиться, что собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны между собой. Пусть

Умножая скалярно первое равенство справа на ψm, а второе слева на ψn, находим их

Так как оператор O является самосопряженным, то левая часть равенства равна нулю.

L

Отсюда следует, что и правая часть равна нулю, т.е.

Если равным собственным значениям соответствует множество линейно независимых собственных функций, то имеет место вырожденное состояние. Число собственных функций дает степень вырождения.

Другими словами, к Ln относятся функции n1, n2, . . . , n . В этом случае речь идет о -кратном вырождении. Хотя, в общем, мы не можем утверждать, что эти функции ортогональны между собой, но, строя линейные комбинации из независимых функций,

являются уже ортогональными.

Отметим чрезвычайно важную теорему, которая нам в дальнейшем понадобится, заключающуюся в том, что, используя ортонормированную систему собственных функций, можно каждый элемент ψ пространства представить в виде

X1

124