быть с успехом использован, например, в вопросах об интенсивности и поляризации излучения, возникающего при разных переходах. Если какие-то частоты отсутствуют в классической модели, то соответствующие квантовые переходы невозможны. Это позволяет определить правила отбора. Кроме того, описываемый принцип показывает, что представление о круговых орбитах является слишком упрощенным.

12.5 Модель атома Бора-Зоммерфельда

Известно, что с классической точки зрения электрон движется в поле центральных сил ядра по орбите, имеющей форму конического сечения, а в случае замкнутой орбиты — форму эллипса. Каким же образом можно обобщить квантовые условия для случая подобных орбит? Для круговой орбиты формулируется условие

где p' D mr v представляет собой импульс, связанный с координатой ' уравнением

а квантовое число n' в случае круговой орбиты совпадает с уже введенным квантовым числом n.

Правило квантования можно теперь обобщить в такой форме: число степеней свободы микросистемы должно быть равно f , т.е. состояние системы должно характеризоваться координатами q1, q2, . . . , qf . Потребуем, чтобы интеграл по замкнутому контуру, взятый по координате qi от импульса, связанного с координатами соотношением

Эти требования сейчас уже не имеют такого большого значения, так как квантовая механика подходит к проблеме квантования с совершенно иных позиций. Но именно благодаря принципу соответствия, а также наглядности представлений эти требования, по-видимому, имеют эвристическое значение. В свое время к этим требованиям пришли с помощью «адиабатической гипотезы» Эренфеста: при адиабатическом изменении параметров системы, достаточно медленном по сравнению с изменением параметров, характеризующих внутреннее движение, т.е. при наличии равновесия, существуют величины, остающиеся неизменными (являющиеся инвариантами). Такие так называемые адиабатические инварианты должны квантоваться. Это справедливо и для вышеупомянутых фазовых интегралов.

Описанный метод может быть упрощен, если принять, что и в случае эллиптических орбит энергия должна зависеть согласно уравнению (90) от квантового числа n, которое теперь, учитывая его определяющее значение, будем называть главным квантовым числом:

105

В это выражение входит Z2, что можно объяснить на основании вывода формулы (95). Учитывая далее соотношение (14), п. 6.4, показывающее, что энергия определяется только размером большой полуоси эллипса, легко получить соотношение

Подстановка квантованной величины p' D n' h=2 , где n' — азимутальное квантовое число, в ранее полученное уравнение (см. (15) п. 6.4)

Если подставить сюда выражение для a, то получим:

Значение n' D 0 соответствовало бы эллипсу, вырожденному в прямую. Этот случай исключается, так как такая орбита проходит через ядро. В соответствии с вышеприведенным выражением значения n' D 1; 2; : : : ; n дают эллипсы со все увеличивающимися малыми осями, причем значение n D n' соответствует круговой орбите.

Введем сначала формально орбитальное квантовое число l D n' 1, которое может принимать следующие значения:

l D 0; 1; 2; :::; n 1

.

Значению l D 0 соответствует орбита с наибольшим эксцентриситетом, а значению l D n 1 — круговая орбита.

Вдальнейшем каждую орбиту будем характеризовать главным квантовым числом n

иорбитальным квантовым числом l . На рис. 80 показана форма орбит при значениях главного квантового числа n=1, 2 и 3 и при разных значениях l (в соответствии с вышеприведенными формулами).

Как видно, энергии разных орбит с одним и тем же главным квантовым числом имеют одинаковое значение. Если же многим квантовым состояниям соответствует одна и та же энергия, то состояние называют вырожденным. Формула (102) дает вырожденный энергетический терм, так как он осуществляется в результате движения электронов по квантовым орбитам различной формы: при данном n энергии орбит, характеризуемых квантовыми числами

n; l D 0I n; l D 1I : : : I n; l D n 1;

имеют одно и то же значение.

Сразу ясно, что любое возмущение, которому может быть, подвергнут атом, поразному влияет на орбиты разной формы. Следовательно, можно ожидать, что в подобном случае вырожденное состояние разделится на множество энергетических уровней, расположенных близко друг к другу. Вследствие этого произойдет расщепление спектральной линии на ряд близко стоящих линий.

106

Как уже говорилось ранее, представление о движении электронов по орбитам с разными эксцентриситетами дает очень наглядную картину внутренних энергетических состояний атома. Кроме того, они дают качественный ответ на вопрос, по каким орбитам движутся как электроны, приближающиеся периодически очень близко к ядру, так и электроны, находящиеся в основном примерно на одном и том же расстоянии от ядра. Эту картину не следует воспринимать буквально; она используется только благодаря наглядности. Для подтверждения сошлемся на то, что не квантовое число n' , а меньшая величина — орбитальное квантовое число l — находится в прямой связи с угловым орбитальным моментом. Этот факт не удается обосновать с помощью наглядной моде-

Это означает, что проекция может принимать лишь целочисленные значения (рис. 81). Теперь можно исследовать поведение спектральных линий, излучаемых атомом в

магнитном поле.

Спектральные линии расщепляются в магнитном поле. Это расщепление носит название эффекта Зеемана.

Расщепление спектральных линий является естественным результатом расщепления энергетических термов. Расщепление же энергетических термов происходит потому, что орбиты, по-разному ориентированные, представляют собой магнитные диполи, ориентация которых в магнитном поле различна, вследствие чего им соответствуют различные значения энергий. В зависимости от знака эти значения энергии надо или прибавить или отнять от величины исходной энергии.

Магнитный момент диполей можно рассчитать, исходя из механического момента импульса:

Возможные значения энергии определяются выражением

Вводя теперь единицу магнитного момента — магнетон Бора

107

то для изменения энергии можно записать:

Таким образом, один энергетический уровень расщепляется на 2l C 1 уровней. Подобным же образом расщепляется спектральная линия. Однако в действительности такое большое число линий никогда не получается. Возникают спектральные линии, соответствующие таким переходам, для которых магнитное квантовое число либо не меняется совсем, либо меняется на 1. Это выражается с помощью правила отбора: m D 0; ˙1. В рамках теории Бора правило отбора может быть обосновано с помощью принципа соответствия.

Однако описанная выше теория Бора, уточненная Зоммерфельдом, может дать правильное истолкование целого ряда явлений лишь при введении соответствующих произвольных поправок, например, таких, как использование для расчета орбитального момента вместо квантового числа n' квантового числа l D n' 1. Это должно означать, что состоянию l D 0 не соответствует никакой магнитный момент и, следовательно, .расщепление в магнитном поле не может иметь место. Однако последнее не подтверждается опытом. Магнитный момент атома водорода, находящегося в основном состоянии, может быть непосредственно измерен методом Штерна и Герлаха. Такое измерение дает значение магнитного момента ˙mB , т.е. свидетельствует о существовании магнитного момента, ориентированного по полю или противоположно ему.

Согласно классической электродинамике атомы атомного пучка, обладающие магнитным моментом, при прохождении неоднородного магнитного поля претерпевают вследствие случайной ориентации магнитных моментов в пространстве различные по отношению к полю отклонения. Поэтому на экране следовало бы после включения магнитного поля ожидать расширения следа, оставляемого пучком. Квантовая теория Бора при n' D 1 постулирует разбиение луча на три пучка, в которых ориентация магнитных моментов атомов определяется значениями m D C1; 0; 1. Если, наконец, внести поправку в теорию Бора и рассматривать побочное квантовое число l D n' 1 как меру орбитального момента, то при значении l D 0 ни расширения, ни расщепления ожидать нельзя. На опыте же против всех ожиданий образуются два луча, отклоненных в противоположных направлениях. Это явление было объяснено Гоудсмитом и Уленбеком, выдвинувшими очень плодотворное предположение о существовании собственного момента импульса (спина) у электрона, а значит, и собственного магнитного момента, измеренное значение которого приближенно совпадает с магнетоном Бора.

Предположим далее, что механический момент электрона не является целочислен-

следовательно, можно принять, что спиновое квантовое число принимает только значения C 12 и 12 . Эти предположения приводят к двум возможным ориентациям, показанным на рис. 82, что согласуется с опытом. Возможны лишь такие ориентации, различие между которыми соответствует целому числу. Но тогда отношение собственного механического момента к магнитному моменту электрона вместо значения, обычного для

108

принимает удвоенное значение,

Это значит, что в данном случае справедливо равенство

Такое аномальное значение отношения момента импульса к магнитному моменту непосредственно получено в опыте Эйнштейна – де Гааза. Следует упомянуть, что введение спина электрона еще не дает возможности разрешить все проблемы. Формулы, получаемые на основании этих модельных представлений, постоянно требуют корректировки, согласующей их с опытами. В качестве обобщения можно дать следующее заключение.

Состояние электрона в поле атома можно охарактеризовать четырьмя квантовыми числами: n, l , m и s.

В случае, когда нет возмущений, энергия непосредственно определяется главным квантовым числом. Согласно модельному представлению число n определяет большую ось эллипса и, значит, в первом приближении энергию орбиты.

Побочное квантовое число l может принимать значения 0, 1, 2, ..., n 1. Оно определяет эксцентриситет эллиптической орбиты (при этом наибольший эксцентриситет имеет орбита с l D 0, значение же l D n 1 соответствует круговой орбите) и находится в непосредственной связи с механическим орбитальным моментом. Именно поэтому побочное квантовое число l рассматривается как вектор, направление которого совпадает с направлением орбитального механического момента:

Исторически установилась традиция выражать значения орбитального квантового числа l =0, 1, 2, 3, 4 и т. д. символами s, р, d , f , g, h. . . Об электроне, для которого главное квантовое число n D 2, а орбитальное квантовое число l D 0, говорят как о 2s-электроне. 5f -электрон характеризуется главным квантовым числом n D 5 и орбитальным квантовым числом l D 3.

Магнитное квантовое число определяет возможные проекции вектора E на выбранное l

направление, например на направление магнитного поля. Поэтому оно может принимать значения

Эти значения связаны с энергией, которую получает электрон в магнитном поле:

109