Классическое решение

Классическое решение проблемы, таким образом, зависит от метода, которым случайно выбрана хорда. Тогда и только тогда, когда метод случайного выбора задан, проблема имеет чётко определённое решение. Метод отбора не уникален, поэтому не может быть единственного решения. Три решения, представленные Бертраном, соответствуют различным методам отбора, и в отсутствие дополнительной информации нет оснований предпочесть какой-либо один.

Этот и другие парадоксы классического определения вероятности оправдывают более строгие формулировки, включающие частотные вероятности и субъективные Байесовские вероятности.

Решение Джейнса с использованием принципа неопределенности

Эдвин Джейнс в своей работе, написанной в 1973 году, под названием «Корректно поставленная проблема», предложил решение парадокса Бертрана. Это решение он основал на принципе неопределённости, а именно: мы не должны использовать информацию, которая не дана в условии. Джейнс указал, что проблема Бертрана не задаёт положение или размер круга, а также утверждал, что в таком случае любые точные и объективные решения должны быть «безразличны» к размеру и положению. Иными словами, он говорил о том, что решение должно быть инвариантно к размерам и трансформациям.

Для иллюстрации: предположим, хорды случайно лежат в круге с диаметром 2 (скажем, после того как в круг с расстояния были брошены соломинки). Затем другой круг с меньшим диаметром (например, 1.1) накладывается на большой круг. Теперь распределение хорд в меньшем круге должно быть таким же, как и в большем круге. Если перемещать меньший круг по большему кругу, то вероятность не должна меняться. Это должно быть наглядно выражено в случае изменений в методе 3: распределение хорд в маленьком круге может выглядеть качественно другим, нежели их распределение в большом круге.

Та же ситуация с методом 1, хотя она более сложна в графическом изображении. Единственно метод 2 инвариантен как размерно, так и трансформационно, метод 3 имеет только размерную инвариантность, метод 1 — ни одной.

Однако Джейнс использовал не только инвариантность для принятия или отвержения данных методов: это означало бы то же самое, что оставить возможность существования ещё не описанного метода, отвечающего критериям здравого смысла. Джейнс использовал интегральные уравнения, описывая инвариантность, для точного определения вероятности распределения. Для данной задачи интегральные равенства действительно имеют единственное решение — то, что названо выше методом 2, методом случайного радиуса.

Физические эксперименты

Метод 2 — единственное решение, обладающее трансформационной инвариантностью, которая присутствует в определённых физических системах (таких как статистическая механика и физика газов), а также и в предлагаемом Джеймсом эксперименте со случайным бросанием соломинок с расстояния в круг. Тем не менее, кто-то может провести иные эксперименты, дающие результаты касательно других методов. Например, для того чтобы прийти к решению в методе 1, методе «случайных концов», можно прикрепить вращатель в центр круга и позволить результатам двух независимых вращений отметить конечные точки хорд. Для того, чтобы придти к решению в методе 3, нужно покрыть круг патокой и отметить первую точку, куда приземлится серединная точка хорды. Несколько наблюдателей разработали эксперименты для получения различных решений и верификации результатов опытным путем.