- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Вопрос 4. Евклидово пространство.
Введем в пространстве R метрику, т.е. операции нахождения длины вектора и угла между векторами.
Для этого определим операцию скалярного произведения векторов и .
Если = (,, …,),= (,, …,), то·=++ … + +. Обозначается следующим образом:
· = (,).
Следовательно, ·= (,)││2 = ++ … +,
т. е.
││= ‒ длина (норма) вектора.
Обозначим = (,).
Тогда
Линейное векторное пространство Rназывается евклидовым, если в нем задана метрика.
Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
Система векторов e1, е2, …, еn называется ортогональной, если (еi ,еj) = 0 при i j, и нормированной, если │еi│ = 1 для всех i = 1, 2,..., n.
Если векторы системы ортогональны и нормированы, они называются ортонормированными.
Пример. Чтобы нормировать ненулевой вектор, необходимо разделить его на норму.
Пусть задан вектор x = (1, –1, 2, 0).
Его норма |x| = . Нормированный вектор имеет вид
. Его длина │е│= 1.
Теорема 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.
Теорема 2. Во всяком n‒ мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Вопрос 6. Переход к новому базису.
Пусть в пространстве R заданы два базиса: старый ,, … ,и новый,, … ,.
Выразим связь между базисами, разложив векторы нового базиса по векторам старого базиса:
Связь между базисами задается матрицей , записанной в транспонированном виде:
А =
Координаты вектора в новом базисе находятся с помощью обратной матрицы .
где – матрица перехода от старого базиса к новому;
Пример.
Дано |
Решение |
(1; 1; 0), (1; –1; 1), (–3; 5; –6), (4; –4; 5). В базисе , ,. |
1) Докажем, что векторы и являются линейно независимыми, т. е. образуют базис. Для этого составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому вектору. · +·+= . Получим: |
Доказать, что векторы и сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе. | |
Следовательно, получим однородную систему: ∆ = = 6– 3 + 0 – 0 – 5 + 6 = 4 0 Следовательно,система имеет единственное решение и– линейно независимые, т. е. образуют базис. 2) Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса. . Координаты вектора . ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ã=
|
Лекция № 11
Вопрос 1. Линейные операторы.
Рассмотрим два линейных векторных пространства: – размерности и– размерности.
Определение. Если задан закон или правило, по которому каждому вектору пространстваставится в соответствие единственный вектор ȳ пространства, то говорят, что задан оператор (отображение) как функцияпространствав пространство, т.е..
Вектор – прообраз вектора, вектор– образпри этом отображении.
Оператор называетсялинейным, если выполняются следующие два условия:
1. (+) =() +() – аддитивность;
2. (·) =·() – однородность.
Равенство можно представить в виде матричного уравнения:
Y = A · X,
где A – матрица линейного оператора . В координатном виде получим:
Зависимость между матрицами одного и того же операторав разных базисах задается формулой:
= ·,
где – матрица перехода от старого базиса к новому.
Пример:
Линейный оператор задан матрицей:
;
;
Найти:
Решение:
;
.