- •Лекция № 1.
- •Вопрос 1. Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Вопрос 2. Операции над матрицами и их свойства.
- •Теорема Лапласа
- •Вопрос 2. Свойства определителей.
- •Лекция № 3
- •Лекция № 4
- •Вопрос 1. Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Формулы:
- •Лекция № 5
- •Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Алгоритм метода Гаусса:
- •Вопрос 2. Исследование систем линейных уравнений.
- •Лекция № 6
- •Вопрос 1. Системы линейных однородных уравнений.
- •Лекция № 7
- •Вопрос 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (модели межотраслевого баланса)
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Лекция № 8
- •Вопрос 1. Векторы (основные понятия и определения).
- •Вопрос 2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства:
- •Вопрос 3.
- •Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Лекция № 9
- •Вопрос 1. Векторное произведение векторов
- •Геометрический смысл.
- •Свойства векторного произведения.
- •Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.
- •Вопрос 3. Смешанное произведение векторов
- •Геометрический смысл
- •Вопрос 4. Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Вопрос 5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Лекция № 10
- •Вопрос 1. Понятие векторного (линейного) пространства.
- •Вопрос 2. Размерность и базис векторного пространства.
- •Вопрос 3. Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Вопрос 4. Евклидово пространство.
- •Вопрос 5. Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Вопрос 6. Переход к новому базису.
- •Лекция № 11
- •Вопрос 1. Линейные операторы.
- •Вопрос 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Вопрос 3. Квадратичные формы.
- •Лекция № 12
- •Вопрос 1. Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Лекция № 13
- •Вопрос 1. Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Вопрос 2. Формула угла между прямыми.
- •Вопрос 3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 4. Формула расстояния от точки до прямой.
- •Лекция № 16
Теорема Лапласа
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
по I стр. = × (–1) 1+2 × +×(–1) 1+2 ×
× +×(–1) 1+2× ;
Пример:
по II стр. = ‒ 2×(–1)2+1 ×+5×(–1)2+2 ×+1×
×(–1) 2+3×= 2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.
Вопрос 2. Свойства определителей.
1. Определитель равен нулю, если содержит:
- нулевую строку или нулевой столбец;
- две одинаковые строки (столбца);
- две пропорциональных строки (столбца).
Пример:
= 0; = 0;= 0;III = I × (-3).
2. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Пример:
= 2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.
3. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умноженные на одно число.
Пример:
I × 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;
= = 1×(–1)1+3×.
Лекция № 3
Вопрос 1. Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.
Матрица А-1называется обратной к матрице A, если при умножении ее на матрицу A, как справа, так и слева, получится единичная матрица.
А-1×A=A× А-1=E
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется вырожденной, если ее определитель равен 0.
Теорема.
Обратная матрица А-1существует только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. |A| ≠ 0.
Алгоритм нахождения.
1. Найти определитель матрицы А.
Если │A│= 0, то обратная матрица не существует, если │A│≠ 0, то перейти ко второму шагу.
2. Найти матрицу AT, транспонированную к матрице А.
3. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы AT и составить из них матрицу Ã, которая называется присоединенной.
à =
4. Обратную матрицу найти по формуле:
5. Сделать проверку А-1 × A = E
Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение имеет вид:
A × Х= B
Умножим обе части уравнения на матрицу А-1 слева:
А-1× A ×Х = А-1 × В.
Так как А-1×А=Е, то Е×Х = А-1×В.
Так какЕ × Х=X, то Х= А-1 ×В.
Пример:
Дано:
А = ;
В = ;
Найти:
X ‒?
Решение:
1) │А│=
2) AT= .
3)
Ã= .
4) А-1 = × Ã =×=
Х= А-1× B =
Ответ:
Вопрос 2. Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.
Рангом матрицы называется наивысший порядок не равных нулю миноров этой матрицы.
Обозначается rang (A) или r (A).
Теорема 1. Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров.
r(A) ≤ min (m; n)
Пример:
А2×3 = ;
r (A) ≤ min (2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r (A) ≤ 2.
= 3 + 24 = 27 0; r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).
Теорема 2. Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен ее порядку n, если она невырожденная.
Примеры:
1)А3×3 = ; r (A) ≤ 3.
│А│= = 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 0 матрица невырожденнаяr (A) = 3.
2)А3×3 =; │А│= 0, т.к. III = I × (– 3) r (A) < 3.
= 0 + 5 = 5 0 r (A) = 2 (порядок ненулевого минора).
Теорема 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.