Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный медицинский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 (производная)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2016

Размер:

951.04 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ или производной второго порядка называется производная от ее первой производной.

Вторая производная функции есть мгновенное ускорение амгн прямолинейно движущейся точки в момент времени t.

Обозначения производных высших порядков

(n)

;

; …

n .

Примеры решения задач

Пример 1. Найти приращение функции y sin 2x при x						и	x
Пример 1. Найти приращение функции y sin 2x при x					3	и	x
					3
Решение:	Так как	приращение	функции	вычисляется			по
y f f x0 x f x0 ,		то подставим значение аргумента					и
приращения	аргумента		в	данную

формуле

значение

формулу

y f				sin		sin	5	sin		1	3	1	3
	sin	3	2		3		6		3	2	2	2

Пример 2. Найти производную функции	y sin
	3

Решение: Рассмотрим цепочку функций у = u3, используя формулу производной сложной

(5x 2)

u = sin v, v = 5x+2, тогда,

функции, получим

y u

15sin

(5x 2) cos(5x 2)

Пример 3. Вычислите дифференциал функции y ln sin 3

Решение. По определению дифференциала имеем

dy d ln sin

d sin

3sin

3x d sin 3x

sin

3sin

3x cos 3x d 3x

3sin

3x cos 3x 3dx

9ctg3x dx

sin

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Большинство процессов в природе подчинено законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Примерами таких зависимостей являются, например, ускорение движения материальной точки, определяющейся вторым законом Ньютона, или зависимость давления идеального газа от его массы. Абсолютной температуры и объема.

Мы изучим функции нескольких переменных на примере функции двух переменных.

Переменная z называется функцией двух аргументов x и	y, если
некоторым парам значений x, y по какому-либо правилу или закону	ставится

в соответствие определенное значение z.

Функция обозначается z		f x, y
Разность	f x x, y f x, y	называется частным приращением функции
z f x, y по аргументу х и обозначается x f = f x x, y f x, y .
Разность	f x, y y f x, y называется частным приращением функции
z f x, y по аргументу у и обозначается y f = f x, y y f x, y .
Разность	f x х, y y f x, y		называется полным приращением

функции

z f x, y по аргументу у и обозначается

f = f x х, y y f x, y .

Множество пар значений, которые могут принимать аргументы х и у называется областью определения функции z=f(x,y).

Частной

производной

первого

порядка

аргументу

рассматриваемой

точке

x, y

lim

f x x, y

f x, y

, если он существует.

x 0

Обозначение:

zx ,

, f x

x, y

Частной

производной

первого

порядка

аргументу

рассматриваемой

точке

x, y

lim

f x, y y

f x, y

, если он существует.

y 0

x 0

Обозначение:

z y ,

, f y

x, y

функции

называется

функции

называется

x, y по предел

Для вычисления частных производных нужно пользоваться рассмотренными правилами и формулами дифференцирования, учитывая в каждом случае какой из аргументов служит переменной дифференцирования, а какой будет постоянной.

Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении данного аргумента.

Пусть функция z f x, y имеет две непрерывные частные производные

f / x, f / y .

f x,

Произведение	f	dx называют	частным	дифференциалом	функции
	x

y по х и обозначают dx f .
Произведение	f	dy называют	частным	дифференциалом	функции
	y

y по у и обозначают d y f .

Сумму частных дифференциалов функции z

дифференциалом и обозначают df d x f d y f или

f x, df

y называют ее полным
f	dx	f	dy
x		y

Примеры решения задач

Пример x, y ln

1.	Вычислите	частные	производные	функции
y sin 3x x

Решение. Для вычисления частных производных следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу считать в выражении функции только этот аргумент переменной величиной, а остальные постоянными, и применить формулы дифференцирования функций одного аргумента.

f x' x, y ln y sin 3x x 'x (считаем

постоянной

величиной,

следовательно ее можно вынести за знак производной в первом слагаемом)=

		'		1	ln y 3cos3x 1
ln y sin 3x			x

f	'	x, y			ln y sin 3x x	'
	y					y

(считаем

х постоянной величиной –

следовательно ее можно вынести за знак производной в первом слагаемом, а второе слагаемое представляет собой постоянную величину – следовательно

ее производная равна нулю)=

sin 3x ln y	'	0	sin 3x

	y		y

Пример y ln y sin

3.	Вычислите	полный	дифференциал	функции
3x x

Решение.			По	определению	полного	дифференциала
функции df	d x f		d y f .	Следовательно	требуется	найти	частные
дифференциалы функции.
Так как dx	f =	f	dx , а частную производную по х для данной функции мы
Так как dx	f =	x	dx , а частную производную по х для данной функции мы
		x
					'

нашли в предыдущем примере, то d x

ln y sin 3x x x dx ln y 3cos 3x 1 dx .

Аналогично

Получаем df d x

d y

y	f

	f	dy
	y

	ln y

ln y sin 3x x 3cos 3x 1 dx

sin 3x y

		sin 3x	dy
sin 3x ln y	0 dy		dy
		y
dy

Контрольные задания:

1) Вычислить производные первого порядка функций

1)	y 3х5 arcsin x ;						y	ex
						4)			;
						4)			;
2)	y x2 log3			x	;			ln x
2)					;			sin x
						5)	y	sin x		;
		ln 4
	y	ln 4						1 tgx
3)	y	sin x	;

10)

11)

y	log			2	x
y

		ln 2				;
						;
y sin			6		x	;
y sin					x	;

y		1 6sin x ;
y sin ln 5x ;
				y ln				1
				y 3			sin		x
				y 3			sin

x	5

3
4

;

12)

13)

14)

15)

y arcsin sin 5x ;
y log			2	x	2	4x 5
y log			3	x		4x 5			;
									;

	x	3
y 2	x
y 2	ln x			;
	ln x

y arctg x							1 x	2
y arctg x							1 x
									;

2) Вычислить дифференциалы первого порядка функций

cos2x

;

y 3

;

sin

;

y ln

cos x

;

3) Найдите частные производные первого порядка функций

10)

11)

f x, y 2yx

;

f x, y ln x

f x, y x

ln y 5sin x ;

f x, y ytgx ln x

;

f x, y ye3x ;

f x, y

;

f x, y

3 x

;

f x, y

;

f x, y y3x 4 ;

f x, y sin y x ;

f x, y ln y ln x ;

12)	f

	1
x, y e	yx	2
		2

;

13)	f x,

14)f x,

ln e

y
5
	;

y cosx ;

4) Найдите полный дифференциал функций

f x, y f x, y f x, y f x, y f x, y

f x, y f x, y

1							cos 2 y
		x					cos 2 y
		x								;
										;
y cos x y
									;
3	x2		y					;
3

2	y							x	;
	y

			x			3
			x
sin				2			3y		;
sin							3y

ln		2			y cos x					;
ln					y cos x

	cos 3xy
									;

5)Материальная точка движется вдоль оси Ох по закону x Asin2 t 4 где А, ω – постоянные. Определить закон скорости и ускорения движения точки.

6) Уравнение движения точки имеет вид	s t 4 2t t	2	0.2t	3	(м). найти: 1)

положения точки в моменты времени t1=2 с, t2=5c; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

7) Зависимость между количеством х вещества, полученного в некоторой

химической реакции, и временем t выражается уравнением где A и k – постоянные. Определить скорость реакции.

A(1

e	kt

)

8)Зависимость объема V газа, масса которого постоянна, от температуры T и давления р выражается формулой V=RT/p, где R – постоянная. Найти

и V p и показать, что

p	V	T	V
	p		T

9)Скорость химической реакции под действием ультразвука определяется

формулой A 2 E , где А – постоянная, Е – звуковая энергия,

V t

поглощенная в объеме V за время t. Записать уравнение скорости υ

химической реакции для E BV sin	2	t , где В и ω – постоянные.

10) При лечении некоторого заболевания одновременно назначаются два препарата. Реакция организма (например, понижение температуры) на дозу х первого препарата и дозу y второго препарата описывается

зависимостью	f x, y x	2	y	2	a x b y , где а и b – постоянные.

Определить дозу y второго препарата, которая вызовет максимальную реакцию при фиксированной дозе х первого препарата.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.05.20156.96 Mб50-- РаботаТимощенко 22.02.11.doc
#
23.11.2019249.08 Кб4-6.docx
#
19.03.2016951.04 Кб231 (производная).pdf
#
20.05.20151.76 Mб231 _пределы_.pdf
#
20.05.2015756.72 Кб221 Им-система-лекция 1.pdf
#
19.05.2015225.28 Кб371 ЛЕКЦИЯ .doc
#
20.05.201545.57 Кб301 модуль ПВБ.doc
#
20.05.201566.21 Кб3041-14.docx