Метод наименьших квадратов
Рассмотрим
опыт, в котором исследуется зависимость
переменной y
от
переменной x.
В результате
опыта получим таблицу
-х.
Пусть известно (или выдвинута гипотеза),
что точки
должны удовлетворять формуле:
(1)
Задача
состоит в том, чтобы по имеющемуся набору
значений
найти наилучшие значенияa
и b.
Составим
квадратичную форму
,
равную сумме квадратов отклонений точек
от закона (1).
(2),
и
найдём значения a
и b,
при которых
имеет минимум:
(3)
Решение
этих двух уравнений с учётом
даёт:
(4)
Формулы (4) дают аналитический способ проведения наилучшей прямой через заданные экспериментальные точки.
Критерий значимости .
В
случае если точки легли не вполне
регулярно на график, возникает вопрос,
следует придавать значение отступлениям
от нашей гладкой кривой или нет.
Исследование достоверности гипотез
(наша гипотеза: зависимость – гладкая
кривая или прямая) производится с помощью
критериев значимости, и одним из наиболее
удобных является критерий
.
В
методе
в качестве меры принимается сумма
квадратов отклонений от предполагаемой
зависимости, выраженных в долях
стандартной ошибки данного измерения:
.
При
сравнении отклонений с таблицей обычно
применяют следующую терминологию: если
найденная из опыта величина
должна наблюдаться с вероятностью
от 1 до 5%, отклонения называются почти значимыми
от 0,1 до 1% - отклонения называются значимыми
меньше 0,1%, отклонения являются высокозначимыми
больше 5%, экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть гипотезу.
Распределение
|
n |
P (вероятность) | |||||||||||||
|
99 |
98 |
95 |
90 |
80 |
70 |
50 |
30 |
20 |
10 |
5 |
2 |
1 |
0,1 | |
|
4 |
0,3 |
0,4 |
0,7 |
1,1 |
1,6 |
2,2 |
3,4 |
4,9 |
6,0 |
7,8 |
9,5 |
11,7 |
13,3 |
18,5 |
|
5 |
0,6 |
0,8 |
1,1 |
1,6 |
2,3 |
3,0 |
4,4 |
6,1 |
7,3 |
9,2 |
11,1 |
13,4 |
15,1 |
20,5 |
|
6 |
0,9 |
1,1 |
1,6 |
2,2 |
3,1 |
3,8 |
5,3 |
7,2 |
8,6 |
10,6 |
12,6 |
15,0 |
16,8 |
22,5 |
|
7 |
1,2 |
1,6 |
2,2 |
2,8 |
3,8 |
4,7 |
6,3 |
8,4 |
9,8 |
12,0 |
14,1 |
16,6 |
18,5 |
24,3 |
|
8 |
1,6 |
2,0 |
2,7 |
3,5 |
4,6 |
5,5 |
7,3 |
9,5 |
11,0 |
13,4 |
15,5 |
18,2 |
20,1 |
26,1 |
|
9 |
2,1 |
2,5 |
3,3 |
4,2 |
5,4 |
6,4 |
8,3 |
10,7 |
12,2 |
14,7 |
16,9 |
19,7 |
21,7 |
27,9 |
|
10 |
2,6 |
3,1 |
3,9 |
4,9 |
6,2 |
7,3 |
9,3 |
11,8 |
13,4 |
16,0 |
18,3 |
21,2 |
23,2 |
29,6 |
|
11 |
3,1 |
3,6 |
4,6 |
5,6 |
7,0 |
8,1 |
10,3 |
12,9 |
14,6 |
17,3 |
19,7 |
22,6 |
24,7 |
31,3 |
|
12 |
3,6 |
4,2 |
5,2 |
6,3 |
7,8 |
9,0 |
11,3 |
14,0 |
15,8 |
18,5 |
21,0 |
24,1 |
26,2 |
32,9 |
|
13 |
4,1 |
4,8 |
5,9 |
7,0 |
8,6 |
9,9 |
12,3 |
15,1 |
17,0 |
19,8 |
22,4 |
25,5 |
27,7 |
34,5 |
|
14 |
4,7 |
5,4 |
6,6 |
7,8 |
9,5 |
10,8 |
13,3 |
16,2 |
18,1 |
21,1 |
23,7 |
26,9 |
29,1 |
36,1 |
|
15 |
5,2 |
6,0 |
7,3 |
8,5 |
10,3 |
11,7 |
14,3 |
17,3 |
19,3 |
22,3 |
25,0 |
28,3 |
30,6 |
37,7 |
|
16 |
5,8 |
6,6 |
8,0 |
9,3 |
11,1 |
12,6 |
15,3 |
18,1 |
20,5 |
23,5 |
26,3 |
29,6 |
32,0 |
39,2 |
|
17 |
6,4 |
7,3 |
8,7 |
10,1 |
12,0 |
13,5 |
16,3 |
19,5 |
21,6 |
24,8 |
27,6 |
31,0 |
33,4 |
40,8 |
|
18 |
7,0 |
7,9 |
9,4 |
10,9 |
12,9 |
14,4 |
17,3 |
20,6 |
22,8 |
26,0 |
28,9 |
32,3 |
34,8 |
42,3 |