27

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра дифференциальных уравнений

Кафедра математического анализа

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Методические указания к практическим

занятиям по математическому анализу

для студентов физического факультета

Издание агу Барнаул 2000

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЙЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ: Методические указания к практическим занятиям по математическому анализу для студентов физического факультета. — Барнаул: изд. АГУ, 2000. 24с.

ПЕЧАТАЕТСЯ

По решению кафедр дифференциальных уравнений,

математического анализа и

методической комиссии МФ

Составители к.ф.-м.н., доцент ГончароваО.Н.,

доцент Саженкова Т. В.

Рецензент к.ф.-м.н., доцент Бушманов С. Б.

План УМД 2000г., п.42

Алтайский государственный университет, 2000

§1. Криволинейные интегралы

Формулы вычисления криволинейного интеграла первого рода по кривой L:

1)

(кривая L задана в декартовых координатах: ),

2)

(кривая L задана параметрически: ),

3)

(кривая L задана в полярных координатах: ).

Формулы вычисления криволинейного интеграла второго рода вдоль кривой AB:

4)

(AB: ),

5)

(AB: ).

Циркуляцией Ц векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл

Ц=.

Если , то

Ц=.

Здесь — единичный касательный вектор к кривой L в точке M, направленный в сторону обхода кривой. Положительным направлением обхода замкнутой кривой L считается направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (рис.1).

ПРИМЕР 1. Вычислить , где C — контур треугольника с вершинами O(0,0), A(1,0), B(0,1).

РЕШЕНИЕ: используя свойства криволинейного интеграла первого рода, можем написать:

.

На отрезке OB: , поэтому

.

На отрезке OA: , следовательно,

.

Отрезок BA лежит на прямой , поэтому ,

и

.

Таким образом, .

ПРИМЕР 2.

.

.

Положим здесь , тогда .

.

ПРИМЕР3.

Вычислить криволинейный интеграл ,

где от точки до .

РЕШЕНИЕ:

.

ПРИМЕР 4.

Вычислить циркуляцию поля

вдоль окружности (обход против хода часовой стрелки).

РЕШЕНИЕ:

Ц=,

Ц=,

,

,

Ц=

.

Задачи, предлагаемые далее для аудиторной и самостоятельной работы, взяты из [3].

ЗАНЯТИЕ I: 4222, 4226, 4229, 4231.

ЗАДАНИЕ I: 4223, 4228, 4230, 4232.

ЗАНЯТИЕ 2: 4248, 4252, 4254, 4279.

ЗАДАНИЕ 2: 4249, 4251, 4255, 4230.

§2. Физические приложения криволинейных интегралов

1). Пусть —материальная плоская кривая с линейной плотностью

— масса кривой;

2). ,

— статические моменты кривой относительно осей и ;

3). — координаты центра тяжести кривой;

4). — момент инерции кривой относительно начала координат ( полярный момент инерции кривой);

5).

— моменты инерции кривой относительно осей и ;

6). ,

— компоненты силы притяжения материальной точки массы материальной кривой . Здесь , — угол между вектором и осью , — гравитационная постоянная.

Справедливы аналогичные формулы для вычисления массы координат центра тяжести и др., если

, .

7). — работа силы

при перемещение материальной точки массы 1 из точки в точку вдоль кривой .

Аналогично вычисляется работа силы при перемещении материальной точки вдоль пространственной кривой.

8). — количество жидкости, вытекающей за единицу времени из области , ограниченной кривой . Здесь — скорость плоского потока жидкости в точке ; — единичный вектор внешней нормали к кривой в точке ; — угол между касательным вектором к кривой и осью . Вектор имеет направление, соответствующее положительному направлению обхода кривой.

ПРИМЕР 5.

Найти массу материальной кривой , заданной уравнением , где , если линейная плотность ее в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы.

РЕШЕНИЕ: по формуле для массы (ІI.1) имеем

.

ПРИМЕР 6.

Найти координаты центра тяжести первого полсвитка материальной винтовой линии , заданного уравнениями , если ее линейная плотность постоянна и равна .