§ 4. Физические приложения поверхностных интегралов

1). Пусть — материальная поверхность с поверхностной плотностью в точке ,

— масса поверхности.

2).

— статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей , , .

3). , ,

— координаты центра тяжести поверхности.

4).

• момент инерции поверхности относительно оси .

5).

— момент инерции поверхности относительно плоскости .

6).

— момент инерции поверхности относительно начала координат.

7).

— компоненты силы притяжения материальной точки массы материальной поверхности .

8). — количество (объем) жидкости, протекающей через поверхность в заданную сторону со скоростью .

ПРИМЕР 12.

Вычислите момент инерции относительно оси однородной сферической оболочки плотности .

РЕШЕНИЕ:

воспользуемся формулой, аналогичной (IV,4),

.

Запишем параметрические уравнения данной полусферы:

Вычислим :

ЗАДАЧА. Заряд Q равномерно распределен по сфере радиуса R. Найти напряженность электрического поля сферы в точке A, находящейся на расстоянии от центра сферы.

§ 5. Формулы грина, стокса, гаусса-остроградского

1). Формула Грина:

(граница L области G пробегается в положительном направлении).

2). Формула Стокса:

(контур L, ограничивающий поверхность S, пробегается в положительном направлении, согласованном с ориентацией поверхности).

Ротором вектора называется вектор

.

Таким образом, циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность S, натянутую на контур L:

.

3). Формула Гаусса - Остроградского:

(поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности S, ограничивающей область V).

Дивергенцией вектора называется скалярная величина

.

Таким образом, поток вектора через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора по области, ограниченной поверхностью S:

.

ПРИМЕР 13.

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность .

РЕШЕНИЕ:

по формуле Гаусса - Остроградского

.

Вычислим интеграл, переходя к сферическим координатам

.

Итак,

.

ПРИМЕР 14.

Вычислить циркуляцию вектора по контуру L:

1. непосредственно, 2) по теореме Стокса.

РЕШЕНИЕ:

1). Контур L — окружность радиуса , лежащая в плоскости .

Параметризуем кривую L:

,

Ц=

2). В качестве поверхности S, натянутой на контур L, выберем круг, имеющий линию L своей границей.

,

Ц=

.

ПРИМЕР 15.

Вычислить циркуляцию вектора

по окружности .

РЕШЕНИЕ:

циркуляция данного вектора равна

Ц=.

Применим формулу Грина:

Ц=

Перейдем к полярным координатам: ,

Ц=

.

ЗАНЯТИЕ 5: 4298, 4300, 4374, 4390.

ЗАДАНИЕ 5: См. далее индивидуальные задания.

УПРАЖНЕНИЯ:

7. Используя теорему Гаусса-Остроградского, вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью .

7. Применяя формулу Грина, вычислить циркуляцию вектора вдоль контура L:

.

7. Дано векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси. Вычислить циркуляцию этого поля по окружности

непосредственно и по теореме Стокса.