Решение: масса равна
.
Значения находим по формулам (ІI.3):
УПРАЖНЕНИЯ:
I. Найти массу материальной кривой с линейной плотностью , если:
а)
;
б) — половина дуги эллипса , для которой .
2. Найти статические моменты дуги астроиды , относительно осей координат, если линейная плотность .
3. Пусть — скорость плоского потока жидкости в точке . Вычислите количество жидкости, вытекающее за единицу времени из области
.
-
Вычислить работу силы вдоль замкнутого контура в положительном направлении, если:
а) — треугольник с вершинами ,,
б) — эллипс .
-
Найти магнитную индукцию магнитного поля, создаваемого током , протекающим по замкнутому проводнику в точке .
§3. Поверхностные интегралы
Формулы вычисления поверхностного интеграла первого рода по поверхности :
(Поверхность задана уравнением ),
(Поверхность задана параметрически , , , ).
Здесь:
Формулы вычисления поверхностного интеграла второго рода по выбранной стороне поверхности :
,
Здесь
, , .
4.
( рис. 2).
Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов
, если поверхность задана, соответственно, уравнениями
:
.
Потоком векторного поля через поверхность на сторону, определяемую вектором , называется поверхностный интеграл
.
Если в системе координат
,
то
.
ПРИМЕР 7.
Вычислить поверхностный интеграл , где — граница тела (рис.3).
РЕШЕНИЕ:
интегрирование производится по
боковой поверхности и основанию конуса, в силу чего мы можем записать
,
где — боковая поверхность,
— основание. На основании , поэтому
.
На боковой поверхности , поэтому
.
В результате .
ПРИМЕР 8.
Вычислить поверхностный интеграл , где — эллипсоид (рис.4).
РЕШЕНИЕ:
запись означает, что интеграл вычисляется по внешней стороне эллипсоида, означает необходимость проектирования на
плоскость . Верхняя половина эллипсоида и нижняя половина проецируются в круг .
, где — верхняя половина эллипсоида, а — нижняя.
,
, где — проекции на плоскость , т.е. круг . Т.к. , а знаки интегралов противоположны, то .
ПРИМЕР 9.
Найти поток векторного поля на внутреннюю поверхность куба, ограниченного плоскостями
,
,
.
РЕШЕНИЕ:
,
,
т.к. площадки перпендикулярны плоскости .
Итак,
.
Аналогично,
, .
Следовательно, .
ПРИМЕР 10.
Вычислить по верхней стороне верхней половины эллипсоида
РЕШЕНИЕ:
так как , то по формулам (3)
(верхней стороне поверхности отвечает знак плюс в упомянутой формуле).
ПРИМЕР 11.
Если поверхность задана неявно , то нормаль к ней может быть найдена по формуле
,
т.к. вектор – градиент функции перпендикулярен к ее линиям уровня.
Так для внешней стороны поверхности параболоида , отсеченного плоскостью , имеем , и направлен в сторону возрастания . В данном случае направление градиента совпадает с направлением внешней нормали, поэтому выбирается знак ”+” и .
где — круг (проекция на плоскость ), а ,
окончательно имеем
.
ЗАНЯТИЕ 3: 4344, 4346, 4348.
ЗАДАНИЕ 3: 4343, 4345, 4349.
ЗАНЯТИЕ 3: 4362, 4365,
ЗАДАЧА. Найти поток векторного поля через полную поверхность конуса , изнутри этой поверхности.
ЗАДАНИЕ 4: 4364, 4366.
ЗАДАЧА. Найти поток векторного поля через внешнюю часть сферы , расположенную в первом октанте.