Контрольні питання

1. Назвіть методи розв’язання систем лінійних рівнянь.

2. Наведіть приклади прямих методів. Назвіть їх переваги та недоліки.

3. Наведіть приклади ітераційних методів. Назвіть їх переваги та недоліки.

4. Наведіть алгоритм методу простої ітерації розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

5. Назвіть умови збіжності методу простої ітерації.

6. Наведіть алгоритм методу Гауса розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Лабораторна робота №2

Тема: Нелінійні рівняння

Завдання: 1) Розв’язати нелінійне рівняння f(x)=0 методом Ньютона (методом дотичних) з точністю до 0.0001;

2) Розв’язати нелінійне рівняння f(x)=0 методом бісекції з точністю до 0.0001.

Вар.	Рівняння	Вар.	Рівняння
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Теоретичні відомості

Найчастіше для розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь виду (де– деяка неперервна функція) застосовують ітераційні методи, т. б. методи послідовних наближень.

Алгоритм знаходження кореня рівняння за допомогою ітераційного методу складається з двох етапів:

1. відокремлення коренів, т. б. знаходження наближеного значення кореня або відрізка, що містить його;

2. уточнення наближеного розв’язку з деякою заданою мірою точності.

Наближене значення кореня (початкове наближення) може бути знайдене у різний спосіб: з фізичних міркувань, з розв’язання аналогічної задачі за інших вихідних даних, за допомогою графічних методів. Якщо такі оцінки початкового наближення провести не вдається, то знаходять дві близько розташовані точки а і b, в яких неперервна функція приймає значення різних знаків, т. б.. В цьому випадку між точкамиа і b існує принаймні одна точка, в якій .

Ітераційний процес полягає в послідовному уточненні початкового наближення.

Метод бісекції

Нехай задано неперервну функцію і необхідно знайти корінь рівняння .

Припустимо, що нам вдалося знайти відрізок , в якому розташоване шукане значення кореня. В якості початкового наближення кореня приймаємо середину цього відрізка, т. б.. Далі досліджуємо значення функції на кінцях відрізківта, т. б. у точках. Той з них, на кінцях якогоприймає значення різних знаків, містить шуканий корінь. Тому його приймаємо в якості нового відрізка. Другу половину , на якій знак не змінюється, відкидаємо. В якості першої ітерації кореня приймаємо середину нового відрізка й т. д.

Ітераційний процес продовжуємо до тих пір, поки значення функції післяn-тої ітерації не стане меншим за модулем деякого заданого малого числа , т. б.. Можна також оцінювати довжину отриманого відрізка: якщо вона стає меншою за допустиму похибку (), то процес зупиняється.

Метод бісекції – найпростіший, надійний, але порівняно повільний метод.